정의
무한 공리(英: Axiom of Infinity)는 집합론에서 무한집합의 존재를 보장하기 위해 채택되는 공리이다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF) 및 선택공리를 추가한 ZFC 공리계의 핵심 공리 가운데 하나로, 유한한 대상만으로는 구성할 수 없는 무한한 집합이 실제로 존재함을 형식적으로 선언한다.
형식적 표현
무한 공리는 1차 술어 논리로 다음과 같이 표현된다.
∃N : ∅ ∈ N ∧ (∀x : x ∈ N → x ∪ {x} ∈ N)
이는 공집합(∅)을 원소로 가지며, 어떤 원소 x가 N에 속하면 그 x의 뒤따름원소(successor, x ∪ {x}) 역시 N에 속하는 집합 N이 존재한다는 뜻이다. 이러한 성질을 만족하는 집합을 귀납적 집합(inductive set)이라 부른다. 이 조건에 따라 N은 ∅, {∅}, {∅, {∅}}, …와 같은 원소들을 차례로 포함하게 되며, 이는 자연수全体의 집합(ℕ)을 구성하는 표준적인 방법으로 사용된다.
역할과 의의
ZF/ZFC 공리계의 다른 공리들(확장공리, 짝공리, 합집합공리, 멱집합공리, 분리공리꼴, 치환공리꼴, 정칙공리)만으로는 무한집합의 존재를 증명할 수 없다. 무한 공리는 이러한 한계를 보완하여 집합론이 유한한 대상만이 아니라 무한한 집합(가산무한집합, 나아가 비가산 무한집합)을 다룰 수 있게 해준다. 무한 공리 덕분에 멱집합 연산을 통해 더 큰 무한기수와 초한순서수를 정의할 수 있으며, 해석학, 위상수학, 대수학 등 무한을 필연적으로 수반하는 거의 모든 수학 분야의 기초가 마련된다.
독립성
무한 공리는 ZFC의 다른 공리들로부터 논리적으로 유도될 수 없는 독립적인 공리이다. 즉, ZFC의 나머지 공리들이 무모순이라 하더라도 무한 공리 자체는 증명되거나 반증되지 않는다. 폰 노이만 전체(Von Neumann universe)를 이용하면 무한 공리의 부정(즉, 모든 집합이 유한집합인 모형)과 ZFC의 나머지 공리들이 모두 성립하는 모형을 구성할 수 있음이 알려져 있다. 이는 무한 공리를 받아들이는 것이 수학적 구성의 선택임을 보여준다.
논란
무한 공리는 집합론의 공리들 중 비교적 덜 직관적이라는 이유로 초기 집합론에서 논란의 대상이 되기도 하였다. 그러나 현재는 현대 수학의 대부분이 무한집합의 존재를 전제로 성립하기 때문에, 표준적인 ZFC 공리계에서 무한 공리는 사실상 필수적인 공리로 받아들여지고 있다.
