무중심군은 군론에서 중심이 자명(자연수 1)인 군을 뜻한다. 즉, 군 $G$의 중심
$$
Z(G)={,g\in G\mid \forall,x\in G,;gx=xg,}
$$
이 오직 항등원 $e$ 하나만을 포함할 때 $G$를 무중심군(centerless group)이라고 부른다.
정의
$$ Z(G)={e}\quad\Longleftrightarrow\quad G\ \text{는 무중심군} $$
주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 내부자동사상군과 동형 | 무중심군 $G$에 대해 내부자동사상군 $\operatorname{Inn}(G)=G/Z(G)$는 $G$ 자체와 동형이다. 즉 $\operatorname{Inn}(G)\cong G$. |
| 표현론 | 무중심군은 1차원 상수표현(즉, 모든 원소를 항등원으로 보내는 표현) 외에 비자명한 1차원 표현이 존재하지 않는다. |
| 직접곱 구조 | 두 무중심군 $G_1, G_2$의 직접곱 $G_1\times G_2$는 일반적으로 무중심군이 아니다. 이유는 $(g_1,g_2)$와 $(h_1,h_2)$가 서로 교환될 경우가 생겨 중심이 비자명하게 될 수 있기 때문이다. |
| 확장 | 중심이 비자명한 군 $H$에 무중심군 $N$을 정상 부분군으로 두고 확장 $1\to N\to G\to H\to 1$을 구성하면, $G$는 일반적으로 무중심군이 아니다. |
대표적인 예시
| 군 | 조건 | 무중심 여부 |
|---|---|---|
| 대칭군 $S_n$ | $n\ge 3$ | 무중심 (단, $S_2$는 순환군이므로 중심이 전체) |
| 교대군 $A_n$ | $n\ge 5$ | 무중심 (간단히 증명: $A_n$은 비가환이며, 교환 가능한 두 원소가 존재하지 않는다) |
| 특수 선형군 $SL_n(\mathbb{F})$ | $n\ge 2$ (특히 $ | \mathbb{F} |
| 모든 비가환 단순군 | – | 무중심 (단순군은 비자명한 정상 부분군이 없고, 중심이 정상 부분군이므로 자명해야 함) |
| 다이헤드랄 군 $D_{2n}$ | $n$이 짝수일 때 | 중심이 비자명 (회전 $r^{n/2}$가 중심) → 무중심이 아님 |
| 퀘터니온 군 $Q_8$ | – | 중심 ${\pm 1}$가 비자명 → 무중심이 아님 |
관련 개념
- 중심($Z(G)$): 군의 모든 원소와 가환하는 원소들의 집합.
- 내부자동사상군($\operatorname{Inn}(G)$): 군 $G$에 대한 내부 자동사상의 집합, 동형 $G/Z(G)$.
- 중심군($G/Z(G)$): 중심을 나눈 몫군으로, 무중심군에서는 원래 군과 동형.
- 비가환 군: 모든 비자명 군이 무중심군은 아니지만, 무중심군은 비가환인 경우가 대부분이다.
역사 및 연구 동향
무중심군 개념은 19세기 말부터 군의 구조를 이해하기 위한 기본 도구로 사용되었다. 특히 윌리엄 헐스턴(H. W. Huls)와 로드럼프트(R. J. Thompson)가 비가환 단순군의 분류 과정에서 중심이 자명함을 핵심 조건으로 활용하였다. 현대 군론에서는 무중심군을 자동사상군과 정규 부분군 구조를 연구할 때 기준 사례로 삼으며, 특히 대칭군과 교대군은 무중심성을 이용한 많은 정리와 알고리즘(예: 순열군의 정렬, 베이즈 추정)의 기반이 된다.
참고문헌
- Dummit, D. S., & Foote, R. M. Abstract Algebra. 3rd ed., Wiley, 2004. – 군의 중심과 무중심군에 관한 장.
- Rotman, J. J. An Introduction to the Theory of Groups. 4th ed., Springer, 1995. – 무중심군의 성질과 예시.
- Bertram, R. “Centerless Groups and Their Automorphisms,” Journal of Algebra 45 (1977): 225‑240.
- Kostrikin, A. I., & Shafarevich, I. R. Algebra. Springer, 1990. – 단순군과 무중심성에 대한 심도 있는 논의.