무어-펜로즈 유사역행렬(Moore‑Penrose pseudoinverse)은 선형대수에서 일반적인 역행렬의 개념을 확장한 것으로, 임의의 복소수 혹은 실수 행렬 $A$에 대해 정의된다.
$A$의 유사역행렬을 $A^{+}$라 표기하며, 다음 네 개의 페네로즈(Penrose) 조건을 동시에 만족하는 유일한 행렬로 정의된다.
- $A A^{+} A = A$
- $A^{+} A A^{+} = A^{+}$
- $(A A^{+})^{!} = A A^{+}$ (여기서 ${}^{!}$는 켤레 전치)
- $(A^{+} A)^{!*} = A^{+} A$
계산 방법
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특이값 분해(SVD)
$A = U \Sigma V^{!}$ ( $U$, $V$는 직교(또는 유니터리) 행렬, $\Sigma$는 대각선에 특이값 $\sigma_i$를 갖는 행렬)인 경우
$$ A^{+}= V \Sigma^{+} U^{!}, $$ 여기서 $\Sigma^{+}$는 $\Sigma$의 비영인 특이값을 역수로 바꾸고 전치한 행렬이다. -
전치와 역행렬을 이용한 특수 경우
- 정방 행렬 $A$가 가역이면 $A^{+}=A^{-1}$.
- 전치 행렬이 풀랭크(full rank)인 경우
$$ A^{+}= (A^{!}A)^{-1}A^{!} \quad (\text{열이 선형 독립인 경우}), $$ $$ A^{+}= A^{!}(A A^{!})^{-1} \quad (\text{행이 선형 독립인 경우}). $$
주요 성질
- 최소-노름 해: 선형 방정식 $Ax=b$가 해를 갖지 않더라도, $x = A^{+}b$는 $|Ax-b|{2}$를 최소화하는 해이며, 동시에 $|x|{2}$도 최소화한다.
- 투영 연산: $AA^{+}$와 $A^{+}A$는 각각 $\mathbb{C}^{m}$와 $\mathbb{C}^{n}$에 대한 직교 투영 연산자이다.
- 연속성: 행렬 원소가 연속적으로 변할 때 $A^{+}$도 연속한다(특이값이 0에 수렴하지 않는 경우).
응용 분야
- 최소제곱문제: 과잉결정(오버디터미네이션)된 시스템의 해석.
- 신호·이미지 처리: 역필터링, 차원 축소, 압축 복원.
- 통계·머신러닝: 선형 회귀, 주성분 분석(PCA) 등에서의 해 계산.
- 제어 이론: 시스템 식별 및 최소 에너지 제어 입력 설계.
참고 문헌
- Meyer, C. D. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2000.
- Horn, R. A., Johnson, C. R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2nd ed., 2013.
- Penrose, R. “A Generalized Inverse for Matrices.” Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 51, 1955, pp. 406‑413.
위와 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 선형 시스템의 해를 일반화하고, 다양한 과학·공학 분야에서 활용되는 기본적인 수학 도구이다.
