무어 공간(Moore space)은 수학, 특히 위상수학과 대수적 위상수학에서 서로 다른 두 가지 주요 개념으로 사용되는 용어이다. 문맥에 따라 의미가 달라지므로 주의가 필요하다.
1. 위상수학 (일반 위상수학) 일반 위상수학에서 무어 공간은 정칙 공간(regular space)이면서 전개 가능 공간(developable space)인 위상 공간을 뜻한다. R. L. 무어(R. L. Moore)가 1930년대에 연구한 개념으로, 거리 공간(metric space)의 성질을 일반화하려는 시도에서 탄생했다.
- 정의: 위상 공간 $X$가 무어 공간이려면, $X$가 정칙 공간이면서 '전개(development)'라고 불리는 열린 덮개의 열 ${G_n}_{n \in \mathbb{N}}$이 존재해야 한다. 즉, 임의의 점 $x$와 $x$를 포함하는 열린 집합 $U$에 대해, 어떤 $n$에 대해 $x$를 포함하는 $G_n$의 원소(별, star)가 $U$에 포함되도록 하는 조건이다.
- 성질: 모든 거리 공간은 무어 공간이지만, 역은 성립하지 않는다. 무어 공간은 항상 정규 공간(normal space)이며, 완전 정규 공간(completely regular space)이다.
- 무어 거리화 정리(Moore Metrization Theorem): 무어 공간이 거리 공간이 되기 위한 필요충분조건은 집합 가산 조밀도(countable spread)를 가지거나, 또는 특정 분리 공리(예: 모음 공간, collectionwise normal space)를 만족하는 것이다.
2. 대수적 위상수학 (호모토피 이론) 대수적 위상수학에서 무어 공간 $M(G, n)$은 주어진 아벨 군 $G$와 정수 $n \ge 1$에 대해, $n$차 환원 호몰로지 군이 $G$이고 나머지 차수의 환원 호몰로지 군이 자명(0)인 위상 공간을 뜻한다. J. C. 무어(J. C. Moore)가 도입했다.
- 표기: $M(G, n)$으로 표기한다.
- 성질: $n=1$이고 $G$가 자유 아벨 군이 아닐 경우, 기본 군이 $G$가 아닌 경우도 있어 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G, n)$과 구별된다. $M(G, n)$은 항상 존재하며, $n \ge 2$일 때는 단일 연결(simply connected) 공간으로 구성할 수 있다.
- 용도: 호몰로지 이론의 계수 군을 변경하거나, 스펙트럼 수열, 코호몰로지 연산, Postnikov 타워 등을 연구하는 기본 도구로 사용된다.
요약
- 일반 위상수학: 전개 가능한 정칙 공간 (거리화 문제 관련).
- 대수적 위상수학: 특정 차수에만 0이 아닌 호몰로지 군을 가지는 공간 (호모토피 이론 관련).
문맥상 어느 분야의 개념인지 명시하지 않으면 혼동될 소지가 있다.
