모형 이론

업데이트 2026-08-25

모형 이론(模型理論, 영어: model theory) 또는 모형론은 수리논리학의 한 분야로, 하나의 형식 언어로 된 문장들의 집합인 형식 이론(영어: formal theory)과 그 언어의 기호를 해석하는 구조 사이의 관계를 연구한다. 어떤 구조에서 형식 이론에 속하는 모든 문장이 참일 때, 즉 그 구조가 그 형식 이론을 만족할 때, 그 구조를 그 형식 이론의 모형(영어: model)이라고 한다. 따라서 모형은 구조와 별개의 종류의 대상이라기보다, 특정 형식 이론을 만족하는 구조를 그 형식 이론과의 관계에서 부르는 말이다. 모델 이론 또는 모델론이라고도 한다.

기본 개념

모형 이론은 1차 논리의 의미론에서 출발한다. 모형 이론의 의미론적 관점은 공리와 추론 규칙에 따른 형식적 유도를 연구하는 증명 이론이 취하는 통사론의 관점과 흔히 대비된다. 그러나 현대 모형 이론은 형식 언어의 참 조건을 규정하는 데 머물지 않고, 논리적 방법으로 수학적 구조를 분석하고 분류하는 독립된 수학 분야로 발전하였다.

주요 연구 문제로는 주어진 형식 이론이 모형을 갖는지, 어떤 크기의 모형이 존재하는지, 각 크기에서 서로 동형이 아닌 모형이 몇 개나 존재하는지, 서로 다른 모형이 어떤 관계를 맺는지, 그리고 한 모형 안에서 어떤 집합·관계·함수가 논리식으로 정의 가능한지 등이 있다. 모형의 분류와 정의 가능성은 고전 모형 이론과 현대 모형 이론을 잇는 두 중심 관점이다.

1차 언어와 구조

모형 이론에서는 연구할 수학적 구조에 맞추어 1차 논리의 언어를 정한다. 이 언어에서 사용하는 비논리 기호들의 모음을 부호수(영어: signature)라고 한다. 부호수는 상수 기호, 함수 기호, 관계 기호로 이루어지며, 각 함수 기호와 관계 기호에는 그 기호가 받는 인수의 수인 항수(영어: arity)가 지정된다. 상수 기호는 0항 함수 기호로 볼 수 있다.

부호수의 구조는 보통 공집합이 아닌 집합과 부호수의 각 기호에 대한 해석으로 이루어진다. 각 상수 기호는 원소로, 각 n항 함수 기호는 함수로, 각 n항 관계 기호는 관계로 해석된다. 기호 자체에는 이러한 해석이 미리 정해져 있지 않으므로, 같은 언어에 대해서도 서로 다른 구조를 정의할 수 있다.

예를 들어 군의 표준적인 언어를 {⋅, ⁻¹, 1}로 둘 수 있다. 여기서 ⋅는 이항 함수 기호, ⁻¹은 일항 함수 기호, 1은 상수 기호이다. 이러한 자료만으로는 군의 공리가 성립한다고 보장되지 않으므로, 임의의 구조가 곧 군인 것은 아니다. 구조가 군인지 여부는 그 구조가 군의 공리를 표현하는 문장들을 만족하는지에 따라 결정된다.

형식 이론과 모형

형식 이론은 하나의 고정된 언어로 쓰인 문장들의 집합을 뜻한다. 여기서 '이론'은 어떤 현상을 설명하는 일반적인 학설이 아니라, 논리학에서 사용하는 전문 용어이다. 구조가 형식 이론에 속하는 모든 문장을 만족할 때, 그 구조를 그 형식 이론의 모형이라고 한다.

형식 이론과 문장에 대하여, 형식 이론의 모든 모형이 그 문장을 만족하면 그 문장을 그 형식 이론의 의미론적 귀결이라고 한다. 한편 구조에서 참인 모든 문장의 집합을 그 구조의 완전 이론이라고 한다.

구조 사이의 관계

같은 언어의 두 구조 사이의 동형 사상은 두 구조의 전체 사이의 전단사 함수로서, 상수·함수·관계 기호의 해석을 모두 보존한다. 동형인 구조들은 원소의 이름만 다를 뿐 같은 구조적 정보를 가지며, 특히 동일한 1차 논리 문장들을 만족한다.

같은 언어의 두 구조가 정확히 같은 문장들을 만족하면 두 구조가 기본 동치라고 한다. 동형인 두 구조는 항상 기본 동치이지만, 기본 동치인 두 구조가 반드시 동형인 것은 아니다.

기본 정리

괴델의 완전성 정리, 콤팩트성 정리, 뢰벤하임-스콜렘 정리는 1차 모형 이론의 기초를 이룬다.

괴델의 완전성 정리

통상적인 1차 논리의 형식 체계에서, 증명할 수 있는 문장이 모든 모형에서도 참임을 뜻하는 건전성이 성립한다. 괴델의 완전성 정리는 그 역도 성립한다고 말한다. 따라서 형식 이론으로부터 문장이 증명 가능한 것과 그 문장이 형식 이론의 모든 모형에서 참인 것은 동치이다.

괴델의 완전성 정리는 형식 이론의 무모순성과 모형의 존재 사이의 관계로도 나타낼 수 있다. 1차 논리에서는 형식 이론의 무모순성을 보이면 그 형식 이론을 만족하는 구조가 존재함을 알 수 있다. 완전성 정리는 괴델의 불완전성 정리와는 서로 다른 대상을 다룬다. 불완전성 정리는 산술을 충분히 표현할 수 있는 특정한 무모순적 형식 이론에는 그 형식 이론 안에서 증명할 수도 반증할 수도 없는 문장이 존재한다는 정리이다.

콤팩트성 정리

콤팩트성 정리에 따르면, 1차 논리의 형식 이론이 만족 가능할 필요충분조건은 그 형식 이론의 모든 유한 부분집합이 만족 가능한 것이다. 이 정리를 이용하면 임의로 큰 유한 모형을 갖는 형식 이론이 무한 모형도 가짐을 보일 수 있다.

뢰벤하임-스콜렘 정리

뢰벤하임-스콜렘 정리는 한 무한 모형으로부터 다른 크기의 모형을 얻을 수 있음을 나타낸다. 하향 정리에 따르면 임의의 부분집합을 포함하는 작은 기본 부분 구조가 존재하며, 상향 정리에 따르면 충분히 큰 임의의 기수 크기의 기본 확대가 존재한다. 특히 가산 언어로 된 형식 이론이 하나의 무한 모형을 가지면, 모든 무한 기수에 대해 그 크기의 모형을 얻을 수 있다. 따라서 1차 형식 이론은 그 무한 모형들의 크기를 하나의 무한 기수로만 제한할 수 없다.

정의 가능성

정의 가능성은 주어진 언어의 논리식으로 어떤 집합·관계·함수를 기술할 수 있는지를 다루는 개념이다. 어떤 대상이 정의 가능한지는 구조 자체뿐 아니라 구조를 서술하는 언어와 사용을 허용한 매개변수에도 의존한다.

양화사 제거와 모형 완정성

양화사 제거는 형식 이론의 모든 모형에서 양화사를 포함하는 논리식을 양화사 없는 논리식으로 바꿀 수 있다는 성질이다. 예를 들어 실폐체의 형식 이론은 순서환의 언어에서 양화사 제거를 갖는다. 이에 따라 실수의 순서체 구조에서 한 변수로 정의 가능한 집합은 점들과 구간들의 유한 합집합이다.

양화사 제거와 밀접하게 관련된 더 약한 성질로 모형 완정성이 있다. 형식 이론의 임의의 두 모형 사이의 모든 매장이 기본 매장일 때 그 형식 이론이 모형 완정성을 갖는다고 한다.

유형과 모형의 구성

논리식들의 집합으로서 하나의 일관된 성질을 나타내는 것을 유형이라고 한다. 모형이 어떤 유형을 실현하거나 생략하는지를 살펴보면, 같은 형식 이론의 모형들도 서로 구별할 수 있다.

포화 모형은 그 크기보다 작은 매개변수 집합으로 기술할 수 있는 모든 일관된 가능성을 이미 자신의 원소들로 실현하는 모형이다. 원자 모형은 모든 유한 튜플이 매개변수 없는 고립 유형을 실현하는 모형이다.

초곱은 구조들의 곱집합을 극대 필터에 대한 동치 관계로 나누어 얻는 구조이다. 워시 정리는 초곱에서의 만족 관계를 각 성분 구조에서의 만족 관계로 판정한다. 초거듭제곱을 이용하면 원래 구조의 기본 확대를 구성할 수 있으며, 비표준 해석학에서 사용하는 비표준 모형을 구성할 수도 있다.

형식 이론과 모형의 분류

범주성

형식 이론이 크기 κ의 모형을 동형을 제외하고 정확히 하나만 가지면, 그 형식 이론이 κ에서 범주적이라고 한다. 몰리의 범주성 정리에 따르면, 가산 언어의 완전 형식 이론이 하나의 비가산 기수에서 범주적이면 모든 비가산 기수에서 범주적이다. 예를 들어 표수가 고정된 대수적으로 닫힌 체의 완전 형식 이론은 모든 비가산 기수에서 범주적이다.

안정이론과 분류 이론

안정성은 형식 이론의 모형 안에서 가능한 유형의 수를 통제하는 조건이다. 안정이론은 이러한 안정성 조건을 만족하는 형식 이론을 가리킨다. 완전 형식 이론이 안정이론일 필요충분조건은 그 어떤 논리식도 순서 성질을 갖지 않는 것이다.

사하론 셸라흐가 발전시킨 분류 이론은 형식 이론의 모형들을 비교적 단순한 불변량으로 분류할 수 있는 경우와 그러한 분류가 어려운 경우를 구별하고, 형식 이론 자체도 모형 안에 나타나는 조합적 구조에 따라 분류하는 연구 분야이다. 안정성은 이 분야에서 가장 기본적인 분류의 경계 가운데 하나이다.

기하학적 모형 이론

기하학적 모형 이론은 정의 가능 집합들 사이의 의존 관계와 차원, 그리고 구조 안에서 어떤 군이나 체가 해석 가능한지를 연구한다. 강극소 집합은 대수적 폐포가 매트로이드에서의 독립성과 비슷한 교환 성질을 만족하여 독립 개념과 차원을 정의할 수 있게 한다.

현대의 분류 이론은 안정이론보다 넓은 범위에서도 정의 가능 집합과 모형의 구조를 분석한다. 단순이론과 NIP 이론이 그러한 부류에 속한다. o-최소 구조는 선형 순서를 갖는 구조에서 한 변수로 정의 가능한 모든 집합이 유한 개의 점과 구간들의 합집합인 구조이다.

응용

모형 이론은 대수학, 대수기하학, 수론, 비표준 해석학 등 여러 분야에 응용된다.

대수적으로 닫힌 체와 실폐체의 형식 이론은 양화사 제거를 가지며, 그 정의 가능 집합이 각각 구성 가능 집합과 반대수적 집합으로 기술된다. 에후드 흐루쇼브스키는 안정이론과 정의 가능 군에 관한 방법을 사용하여 모든 표수에서 기하학적 모르델-랭 추측을 증명하였다.

악스-코헨-에르쇼프 정리는 초곱을 이용하여 서로 다른 종류의 값매김 체 사이에서 산술적 명제를 전달한다. 필라-윌키 정리는 o-최소 구조에서 정의 가능한 집합의 유리점의 수를 제한하며, 마닌-멈퍼드 추측과 앙드레-오르트 추측의 증명에 사용되었다.

아브라함 로빈슨이 발전시킨 비표준 해석학은 초거듭제곱을 이용하여 실수체의 기본 확대를 구성한다. 이를 통해 무한소와 무한대 원소가 존재하는 초실수체를 얻을 수 있으며, 전달 원리를 이용하여 극한·미분·적분을 무한소를 사용하여 엄밀하게 다시 서술할 수 있다.

NIP 조건은 통계적 학습이론의 VC 차원과 직접 연결된다. 유한한 VC 차원은 PAC 학습에서 가설 집합의 표본 복잡도를 통제하는 중심적인 조건이며, NIP와 안정성 같은 모형 이론적 분류 개념은 정의 가능 집합족의 조합적 복잡성과 분포 독립적인 학습 가능성을 연결한다.

역사

오늘날 모형 이론에 속하는 것으로 여겨지는 연구는 이 분야의 명칭이 정착하기 전부터 이루어졌다. 1915년 레오폴트 뢰벤하임은 오늘날 뢰벤하임-스콜렘 정리의 초기 형태로 간주되는 결과를 발표하였고, 토랄프 스콜렘은 1920년대에 이를 정교화하였다. 쿠르트 괴델이 1929년에 증명한 괴델의 완전성 정리는 1차 논리의 형식적 증명과 모형에서의 참을 연결하였다.

알프레트 타르스키는 1930년대에 형식 언어에서의 진리와 만족 관계를 재귀적으로 정의하고, 정의 가능성 및 논리적 귀결과 같은 의미론적 개념을 엄밀하게 다루는 방법을 마련하였다. 그는 1954년 논문에서 '모형 이론'이라는 명칭을 사용하였다.

1950년대와 1960년대에는 모형 완정성, 유형, 포화 모형과 같은 개념들이 체계화되었고, 초곱이 모형을 구성하고 비교하는 주요 도구로 자리 잡았다. 마이클 몰리는 1965년 논문에서 범주성 정리를 증명하였으며, 이 결과는 모형 이론의 관심을 모든 1차 구조에 공통되는 일반 정리에서, 개별 형식 이론의 모형들이 지닌 내부 구조와 분류 가능성을 분석하는 문제로 확장하였다.

사하론 셸라흐는 1960년대 말부터 몰리의 연구를 크게 일반화하여, 안정이론을 비롯한 여러 부류의 형식 이론을 구별하는 분류 이론을 발전시켰다. 몰리의 연구에서 나타난 강극소 집합과 차원의 관점은 기하학적 모형 이론으로 발전하였으며, 이후 정의 가능 군, o-최소 구조와 같은 대상의 연구 및 대수기하학·수론에 대한 응용으로 이어졌다.