멱평균(冪平均, power mean)은 수학에서 여러 종류의 평균을 하나의 틀로 일반화한 개념으로, 일반화된 평균(generalized mean) 또는 횔더 평균(Hölder mean)이라고도 불린다. 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균, 제곱평균제곱근(이차 평균) 등을 모두 포함하는 상위 개념에 해당한다.
정의
양의 실수 $a_1, a_2, \dots, a_n$에 대하여, 0이 아닌 실수 $k$에 대한 멱평균 $M(k)$는 다음과 같이 정의된다.
$$ M(k) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^{,k} \right)^{\frac{1}{k}} $$
$k = 0$일 때는 위 식의 극한값으로 정의되며, 이는 기하 평균과 같다.
$$ M(0) = \lim_{k \to 0} M(k) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} a_i} $$
주요 특수값
매개변수 $k$에 따라 멱평균은 다음과 같은 잘 알려진 평균들로 환원된다.
| $k$ | 평균의 종류 |
|---|---|
| $k \to \infty$ | 최댓값 |
| $k = 2$ | 제곱평균제곱근 (이차 평균) |
| $k = 1$ | 산술 평균 |
| $k \to 0$ | 기하 평균 |
| $k = -1$ | 조화 평균 |
| $k \to -\infty$ | 최솟값 |
멱평균 부등식
0이 아닌 두 실수 $p < q$에 대하여, 모든 변량이 양수일 때 다음 부등식이 성립한다.
$$ M(p) \leq M(q) $$
즉, 멱평균은 매개변수 $k$에 대하여 단조증가 함수이다. 등호는 모든 변량이 같을 때만 성립한다. 이 부등식으로부터 산술-기하-조화 평균 부등식(AM–GM–HM inequality)이 따름정리로 유도된다.
어원
'멱평균'의 '멱(冪)'은 한자로 '거듭제곱'을 뜻하며, 이는 정의에서 각 변량을 $k$제곱하여 평균을 낸 뒤 다시 $1/k$제곱근을 취하는 연산 구조에서 비롯된 명칭이다. 영어 명칭 power mean도 같은 어원을 가진다.
