정의
멱평균(멱 평균, power mean)은 여러 실수값들의 평균을 일반화한 개념으로, 각 값에 동일한 가중치를 두고 특정 지수(멱) $p$ 에 따라 계산한다. 실수 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 에 대해 멱평균 $M_p$는 다음과 같이 정의된다.
$$ M_p(x_1,\dots ,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^{,p}\right)^{!1/p}\qquad (p eq0) $$
$p=0$인 경우는 극한값을 이용해 정의되며, 이는 기하평균과 동일하다.
$$ M_0(x_1,\dots ,x_n)=\lim_{p\to0}M_p(x_1,\dots ,x_n)=\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_i\Bigr)^{1/n} $$
특수 경우
멱평균은 지수 $p$ 의 값에 따라 여러 잘 알려진 평균으로 수렴한다.
| $p$ 값 | 멱평균 $M_p$ | 일반적인 명칭 |
|---|---|---|
| $-\infty$ | $\displaystyle \min{x_i}$ | 최소값 |
| $-1$ | $\displaystyle \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}1/x_i}$ | 조화평균 |
| $0$ | $\displaystyle \bigl(\prod_{i=1}^{n}x_i\bigr)^{1/n}$ | 기하평균 |
| $1$ | $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ | 산술평균 |
| $2$ | $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}}$ | RMS(제곱 평균) |
| $+\infty$ | $\displaystyle \max{x_i}$ | 최대값 |
주요 성질
-
단조성
$$ p_1 < p_2 ;\Longrightarrow; M_{p_1}(x_1,\dots ,x_n) \le M_{p_2}(x_1,\dots ,x_n) $$ 즉, 지수가 클수록 평균값은 커진다. -
동일성(동질성)
모든 $c>0$에 대해
$$ M_p(c x_1,\dots ,c x_n)=c,M_p(x_1,\dots ,x_n) $$ -
대칭성
입력값의 순서에 관계없이 동일한 값을 반환한다. -
연속성
$p$가 실수 전체에 걸쳐 연속이며, 특히 $p\to0$ 일 때는 기하평균으로 수렴한다.
응용 분야
- 통계학 및 데이터 과학: 서로 다른 스케일을 가진 특징들의 집계에 사용. 예를 들어, 위험도(조화평균)와 효율성(산술평균) 사이의 균형을 평가할 때.
- 공학: 전기·전자 분야에서 RMS 전압·전류 계산, 신호 처리에서 에너지 평균.
- 경제학: 생산 함수·효용 함수에서 다중 지표를 하나로 요약할 때.
- 머신러닝: 손실 함수(예: 파워 손실), 하이퍼파라미터 튜닝 시 여러 성능 지표를 가중 평균할 때.
- 수학: 불평등(멱평균 불평등, Hölder 불평등 등) 증명에 핵심 도구로 활용.
관련 용어
- 멱 평균 불평등(Power Mean Inequality): 위의 단조성에서 유도된 불평등으로, 서로 다른 지수의 멱평균 사이에 항상 ≤ 관계가 성립한다.
- Hölder 불평등 및 Minkowski 불평등: 멱평균 개념을 일반화하여 벡터 공간·함수 공간에 적용한 불평등.
- 가중 멱평균(Weighted Power Mean): 각 값에 가중치 $w_i$ (∑w_i=1)를 부여한 형태
$$ M_{p,w}(x_1,\dots ,x_n)=\left(\sum_{i=1}^{n} w_i x_i^{,p}\right)^{!1/p} $$
참고문헌
- Hardy, G. H., Littlewood, J. E., & Pólya, G. Inequalities. 2nd ed., Cambridge University Press, 1952.
- Bullen, P. S. Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Academic Publishers, 2003.
- Klein, D. “Power Means and Their Applications in Engineering.” IEEE Transactions on Education, vol. 57, no. 3, 2014, pp. 321‑328.
- Wikipedia contributors. “Generalized mean.” Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_mean (접근일: 2026‑02‑28).