정의
메르센 소수(Mersenne prime)는 형태 $M_n = 2^{n} - 1$ 인 메르센 수 중에서 소수인 수를 말한다. 여기서 지수 $n$ 은 양의 정수이며, $M_n$ 이 소수가 되기 위해서는 $n$ 자체가 소수여야 한다는 필요조건이 있다(하지만 $n$ 이 소수라 하더라도 $M_n$ 이 소수가 되는 것은 아니다).
개요
메르센 소수는 고대부터 알려진 몇 안 되는 큰 소수의 예시이며, 현재까지 확인된 가장 큰 소수들의 대부분이 메르센 소수이다. 알려진 메르센 소수는 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, 136279841 등이다(※ OEIS A000668). 각 메르센 소수는 지수 $n$ 과 그 값 $M_n$ 의 자릿수를 함께 기록한다.
어원/유래
‘메르센’이라는 명칭은 17세기 프랑스의 수학자·성직자 마린 메르센(Marin Mersenne, 1588–1648)에서 유래한다. 메르센은 $2^{n}-1$ 형태의 수가 소수가 되는 경우를 조사하면서, $n \le 257$ 일 때는 $n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$ 뿐이라고 주장하였다. 이후 일부는 틀렸음이 밝혀졌지만, 그의 연구는 메르센 소수 탐구의 초석이 되었다.
특징
- 필요조건: $M_n$ 이 소수가 되려면 $n$ 이 소수여야 한다(하지만 충분조건은 아니다).
- 소인수 형태: $n$ 이 홀수 소수 $p$ 일 때, 메르센 수의 모든 소인수는 $2kp+1$ ($k$ ≥ 0) 형태이다(페르마). 또한 $n$ 이 홀수 소수이면 약수는 $8k \pm 1$ 꼴이 된다.
- 판정법: 메르센 소수 여부는 루카–레머(Lucas–Lehmer) 시험으로 효율적으로 판정할 수 있다. 이 시험은 대규모 컴퓨터 연산에 적합하여 현재까지 가장 큰 소수들을 찾는 데 활용되고 있다.
- 완전수와의 관계: $M_n$ 이 메르센 소수이면, $2^{n-1}M_n$ 은 짝완전수(even perfect number)이다. 따라서 메르센 소수의 발견은 새로운 완전수 발견과 직결된다.
- 무한성 미확인: 메르센 소수가 무한히 존재하는지는 현재까지 증명되지 않았다. 이는 일반적인 소수 무한성 문제와는 별개의 난제로 남아 있다.
- 현대 탐색: 1956년 한스 리젤이 18번째 메르센 소수를 발견한 이후, 전 세계의 자원봉사자와 연구기관이 참여하는 GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search) 프로젝트를 통해 매년 새로운 메르센 소수가 발표되고 있다.
관련 항목
- 메르센 수 ($2^{n}-1$ 형태의 일반 수)
- 소수 (Prime number)
- 완전수 (Perfect number)
- 루카–레머 시험 (Lucas–Lehmer primality test)
- GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
- 마린 메르센 (Marin Mersenne)
- OEIS A000225 (메르센 수열) 및 A000668 (메르센 소수 열)
본 내용은 위키백과(‘메르센 소수’ 항목) 및 관련 신뢰할 수 있는 수학 자료에 근거한다.