군 표현론에서, 매케이 화살집(영어: McKay quiver)은 유한군의 표현에 대하여 대응되는 유한 화살집(quiver)이다. 수학자 존 매케이(John McKay)가 1981년에 도입하였다.
정의
유한군 $G$와 체 $K$가 주어졌다고 하자. 마슈케 정리(Maschke's theorem)에 의하여 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 유일하게 분해된다. $G$의 $K$계수 기약 표현들을 $(W_i)_{i\in I}$라고 하고, $G$의 임의의 유한 차원 표현 $V$에 대하여
$$ V \otimes W_i = \bigoplus_{j\in I} n_{ij} V_j \quad (n_{ij} \in \mathbb{N}) $$
라고 할 때, $V$에 대응되는 매케이 화살집 $\Gamma$는 다음과 같은 화살집이다.
- 꼭짓점(vertex)의 집합: $I$ (기약 표현들의 지표 집합)
- 각 $i, j \in I$에 대하여, $i$에서 $j$로 향하는 $n_{ij}$개의 화살(arrow)
성질
유한군 $G$의 표현 $\rho$의 쌍대 표현 $\rho^*$의 매케이 화살집은 $\rho$의 매케이 화살집의 반대 화살집(변의 방향을 모두 뒤집은 화살집)이다. 만약 $\rho$가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다.
$G$의 자명한 표현 1에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리(self-loop)가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 화살집이다.
ADE 분류와의 관계
$G$가 $\operatorname{SL}(2;\mathbb{C})$의 유한 부분군이고 $V = \mathbb{C}^2$가 2차원 복소수 정의 표현(standard representation)일 때, 매케이 화살집은 ADE형의 딘킨 도표(Dynkin diagram)와 일치한다. 이는 매케이 대응(McKay correspondence)의 핵심 내용이다. 구체적인 분류는 다음과 같다.
| ADE | 군 | 크기 | 기약 표현 수 |
|---|---|---|---|
| $A_n$ | 순환군 $\operatorname{Cyc}(n+1)$ | $n+1$ | $n+1$ |
| $D_n$ | 쌍순환군 $\operatorname{Dic}(n-2)$ | $4(n-2)$ | $n+1$ |
| $E_6$ | 이진 정사면체군 | 24 | 7 |
| $E_7$ | 이진 정팔면체군 | 48 | 8 |
| $E_8$ | 이진 정이십면체군 | 120 | 9 |
응용
매케이 화살집은 이론물리학, 특히 화살집 게이지 이론(quiver gauge theory)에서 중요한 역할을 한다. 유한군으로 정의된 오비폴드(orbifold)에 D-막(D-brane)을 배치하면 그 위에 화살집 게이지 이론이 존재하며, 이 경우 사용되는 화살집은 유한군의 매케이 화살집이다. 이때 사용되는 표현은 R대칭(R-symmetry)의 표현이다.
$\operatorname{SL}(2;\mathbb{C})$ 외에도 $\operatorname{SU}(3)$의 정의 표현 3을 사용하여 $\operatorname{SU}(3)$의 유한 부분군에 대하여도 매케이 화살집을 정의할 수 있으며, $G_2$의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류된 바 있다.
