매끄러운 다양체(英: smooth manifold)는 위상수학과 미분기하학에서 다루는 기본적인 구조 중 하나로, 위상다양체에 매끄러운(즉, 무한히 미분 가능한) 구조를 추가한 것이다. 보다 정확히는 차원 $n$인 위상다양체 $M$에 대해, 각 점마다 열린 이웃과 $\mathbb{R}^n$의 열린 집합 사이의 위상동형인 좌표판(chart)이 존재하고, 두 좌표판이 겹치는 영역에서의 전이함수(transition map)들이 무한히 미분 가능($C^\infty$)인 경우를 말한다. 이러한 좌표판들의 모임을 아틀라스(atlas)라 하며, 그 아틀라스를 포함하는 모든 매끄러운 아틀라스들의 합집합을 극대 매끄러운 아틀라스(maximal smooth atlas)라 한다. 극대 매끄러운 아틀라스가 정의하는 구조가 바로 매끄러운 구조이며, 이를 갖는 위상다양체를 매끄러운 다양체라고 한다.
정의
$M$이 차원 $n$인 위상다양체라 할 때, 다음이 성립하면 $M$은 매끄러운 다양체이다.
- 차트 $(U,\varphi)$가 존재한다. 여기서 $U\subset M$은 열린 집합, $\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$은 위상동형이며 $\varphi(U)$는 $\mathbb{R}^n$의 열린 집합이다.
- 임의의 두 차트 $(U,\varphi), (V,\psi)$에 대해, 겹치는 부분 $U\cap V
eq\varnothing$이면 전이함수
$$ \psi\circ\varphi^{-1} : \varphi(U\cap V) \longrightarrow \psi(U\cap V) $$ 가 무한히 미분 가능($C^\infty$)이다.
위 두 조건을 만족하는 차트들의 모임을 매끄러운 아틀라스라 하며, 이러한 아틀라스가 극대가 되면 매끄러운 구조가 정의된다.
주요 성질
- 접선공간: 각 점 $p\in M$에서는 $p$에서의 접선공간 $T_pM$가 정의되며, 이는 $\mathbb{R}^n$의 접선공간과 구조적으로 동일하게 다루어진다.
- 매끄러운 함수: 두 매끄러운 다양체 $M, N$ 사이의 함수 $f:M\to N$가 각 차트에서의 좌표표현이 $C^\infty$이면 매끄러운 함수라 한다.
- 분할 단위함수(partition of unity): 매끄러운 다양체는 스무스(부드러운) 분할 단위함수를 항상 가질 수 있어, 전역적인 매끄러운 구조를 로컬하게 조합하는 데 이용된다.
- 라그랑지안·해밀토니안 구조 등과 같은 추가적인 기하학적 구조를 정의하기 위한 기본 토대가 된다.
대표적인 예
- 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 자체는 자명한 매끄러운 구조를 가진 가장 단순한 매끄러운 다양체이다.
- 구 $S^n$ (예: 2차원 구면 $S^2$)는 스테레오그래픽 투영 등을 이용해 매끄러운 차트들을 구성할 수 있다.
- 토러스 $T^n = S^1\times\cdots\times S^1$는 각 원 $S^1$이 매끄러운 구조를 가지므로 곱 구조에 의해 매끄러운 다양체가 된다.
- 리만 다양체와 리 대수학적 다양체는 매끄러운 구조를 자연스럽게 부여받으며, 특히 리 군(Lie group)은 매끄러운 다양체와 군 구조가 동시에 존재한다.
관련 개념
- 미분 다양체(differentiable manifold): 매끄러운 다양체는 미분 다양체 중에서도 차이점이 없는 경우가 많으며, 일반적으로 “$C^\infty$ 미분 다양체”라고도 부른다.
- 위상다양체(topological manifold): 매끄러운 구조가 부재한 경우, 단순히 위상적 성질만을 갖는 위상다양체가 된다.
- $C^k$ 다양체: 전이함수가 $k$번 연속 미분 가능한 경우를 $C^k$ 다양체라 하며, 매끄러운 다양체는 $C^\infty$ 다양체에 해당한다.
참고
매끄러운 다양체는 현대 물리학(특히 일반 상대성이론과 양자장론) 및 수학(미분기하, 위상수학, 동역학 시스템) 등 다양한 분야에서 핵심적인 모델링 도구로 활용된다.