개요
매개계(媒介界, 영어: system of parameters, 약자: s.o.p)는 가환대수학(commutative algebra)에서 국소 가환환(local commutative ring) 위에 정의되는 일종의 '국소 좌표계' 개념이다. 대수기하학에서 대수다양체의 한 점 근방을 분석할 때 사용되는 핵심 도구 중 하나이다.
정의
뇌터(Nötherian) 국소 가환환 $(R, \mathfrak{m})$과 그 위의 유한 생성 가군 $M$(크룰 차원 $\dim_R M = d$)이 주어졌을 때, 부분 집합 $S \subseteq R$이 다음 조건을 만족하면 $M$의 매개계라고 한다:
- $|S| = d$
- $\operatorname{length} \frac{M}{SM} < \infty$ (즉, 충분히 큰 양의 정수 $N$에 대해 $\mathfrak{m}^N M \subseteq SM$)
특히 $M = R$인 경우, $S \subseteq R$가 $\mathfrak{m}^N \subseteq S$를 만족하는 최소 크기($d$개)의 원소 집합이면 $R$의 매개계가 된다.
만약 $N = 1$로 잡을 수 있다면(즉, $\mathfrak{m} \subseteq S$), 이를 정칙 매개계(正則媒介界, regular system of parameters)라고 한다.
성질
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정칙 국소환과의 관계: 뇌터 국소 가환환이 정칙 국소환(regular local ring)일 필요충분조건은 정칙 매개계를 갖는 것이다.
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코언-매콜리 환과의 관계: 뇌터 국소 가환환이 코언-매콜리 국소환(Cohen-Macaulay local ring)일 필요충분조건은 모든 매개계가 정칙열(regular sequence)을 이루는 것이다.
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정칙 국소환에서의 선형 독립성: 정칙 국소환 $(R, \mathfrak{m}, \kappa)$에서 부분 집합 $S \subseteq \mathfrak{m}$에 대해 다음은 동치이다:
- $S$를 포함하는 정칙 매개계가 존재한다.
- $R/(S)$는 $d - |S|$차원 정칙 국소환이다.
- ${s + \mathfrak{m}^2 : s \in S} \subseteq \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$이 $\kappa$-벡터 공간에서 선형 독립이다.
예시
- 0차원(아르틴) 국소환: 매개계는 공집합이다. (예: $\mathbb{Z}/(p^d)$)
- 아핀 평면의 원점: 체 $K$ 위의 $K[x,y]_{(x,y)}$는 2차원 정칙 국소환이다. ${x, y}$는 정칙 매개계이며, 일반적으로 $\operatorname{GL}(2;K)$ 변환을 가한 ${ax+cy, bx+dy}$도 정칙 매개계이다. 반면 ${x, y^2 - x}$는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.
- 정수환의 소수에서의 국소화: $\mathbb{Z}_{(p)}$는 1차원 국소환으로, ${p}$는 정칙 매개계이다. ${ap}$($a$와 $p$가 서로소)도 정칙 매개계이지만, ${ap^k}$($k \ge 2$)는 매개계가 아니다.
역사
국소환의 개념이 볼프강 크룰(Wolfgang Krull)에 의해 1938년 도입된 후, 클로드 슈발레(Claude Chevalley)가 1943년 매개계의 개념을 처음 사용하였다. 데이비드 아이젠버드(David Eisenbud)는 매개계를 "대수다양체 위의 한 점 근처에서의 국소 좌표계"로 비유하였다.
