마름모육팔면체
마름모육팔면체는 기하학에서 아르키메데스의 다면체(Archimedean solid) 중 하나로, 반정다면체(semi-regular polyhedron)에 속하는 볼록 다면체이다. 영어 명칭은 rhombicuboctahedron이며, 작은 마름모육팔면체(small rhombicuboctahedron)라고도 불린다.
정의와 구조
마름모육팔면체는 한 꼭짓점에 정삼각형 하나와 정사각형 세 개가 만나는 구조를 가진다. 즉, 각 꼭짓점에는 동일한 형태의 면 배치(꼭짓점 도형: 3.4.4.4)가 나타난다.
- 면(faces)의 수: 26개 (정삼각형 8개, 정사각형 18개)
- 모서리(edges)의 수: 48개
- 꼭짓점(vertices)의 수: 24개
- 오일러 지표(χ): 2
대칭군은 정팔면체 대칭군(Oh, 48차)이며, 이면각은 정삼각형-정사각형 사이가 약 144.74°, 정사각형-정사각형 사이가 135°이다.
명칭의 유래
'마름모육팔면체'라는 이름은 정육면체(六面體)와 정팔면체(八面體)의 성질을 함께 지니고 있으며, 면 중에 마름모 형태와 유사한 구조가 포함된 데에서 유래한 것으로 설명된다. 이 명칭은 요하네스 케플러(Johannes Kepler)가 1618년 저서 《세계의 조화》(Harmonices Mundi)에서 처음 사용한 것으로 알려져 있다.
생성 방법
마름모육팔면체는 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.
- 부풀리기(expansion): 정육면체 또는 정팔면체의 각 면을 바깥으로 부풀려 면 사이에 정사각형을 끼워 넣는 방식으로 생성할 수 있다. 이 때문에 '부풀린 정육면체' 또는 '부풀린 정팔면체'라고도 불린다.
- 깎기(truncation): 육팔면체(cuboctahedron)의 꼭짓점을 각 모서리의 절반 지점까지 깎아서 만들 수 있다. 모서리의 1/3 지점까지 깎으면 큰 마름모육팔면체(truncated cuboctahedron)가 된다.
- 칸텔레이션(cantellation): 정육면체 또는 정팔면체의 모서리와 꼭짓점을 절단하는 방식으로도 구성된다.
또한, 두 개의 늘린 사각지붕(elongated square cupola) 사이에 정팔각기둥을 끼워 넣은 형태로도 볼 수 있다.
수치적 성질
한 모서리의 길이가 a인 마름모육팔면체의 겉넓이 A와 부피 V는 다음과 같다.
- 겉넓이: A = (18 + 2√3)a²
- 부피: V = (2/3)(2 + 5√2)a³
쌍대다면체
마름모육팔면체의 쌍대다면체(dual polyhedron)는 연꼴이십사면체(deltoidal icositetrahedron)이다. 이는 카탈랑의 다면체(Catalan solid)에 속한다.
관련 개념
마름모육팔면체는 아르키메데스의 13가지 다면체 중 하나로, 정다면체를 부풀려 얻는 반정다면체라는 점에서 마름모십이이십면체(rhombicosidodecahedron)와 함께 분류된다. 정육팔면체와 달리 마름모육팔면체는 한 꼭짓점에 네 개의 면이 모이며, 모든 면이 정삼각형 또는 정사각형으로만 구성된 것이 특징이다.
활용
마름모육팔면체는 결정학, 분자 구조 연구, 건축 설계, 게임 및 퍼즐 등 다양한 분야에서 기하학적 형태로 활용되는 사례가 보고되고 있다. 다만 각 분야에서의 구체적인 실용적 응용 범위에 대해서는 분야별로 상이하다.
