마름모십이면체(Rhombic Dodecahedron)는 열두 개의 마름모 면으로 이루어진 볼록 다면체이다. 카탈랑의 다면체(Catalan solid)의 일종으로, 아르키메데스 다면체 중 하나인 육팔면체(cuboctahedron)의 쌍대 다면체에 해당한다.
기본 정보
마름모십이면체는 12개의 합동인 마름모 면, 24개의 모서리, 14개의 꼭짓점으로 구성되어 있다. 꼭짓점은 두 종류로 나뉘는데, 마름모의 예각 4개가 모이는 꼭짓점이 6개, 마름모의 둔각 3개가 모이는 꼭짓점이 8개이다. 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모이는 구조이다. 이면각은 120°이다.
수학적 공식
한 모서리의 길이가 a인 마름모십이면체의 겉넓이 A와 부피 V는 다음과 같다.
- 겉넓이: A = 8√2 × a²
- 부피: V = (16√3 / 9) × a³
오일러의 다면체 정리(V − E + F = 2)를 만족한다. 즉, 14 − 24 + 12 = 2가 성립한다.
다른 도형과의 관계
- 쌍대 다면체: 육팔면체(cuboctahedron)이다.
- 정육면체와 정팔면체와의 관계: 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 8개를 이으면 정육면체가 되고, 예각 4개가 모인 꼭짓점 6개를 이으면 정팔면체가 된다. 이렇게 만들어진 정육면체와 정팔면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체가 된다.
- 공간 채움 성질(parallelohedron): 마름모십이면체는 단독으로 3차원 유클리드 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형이다. 이와 같은 공간 채움 성질을 가진 다면체를 평행 다면체(parallelohedron)라고 부른다.
- 고차원 도형과의 연관성: 정팔포체(4차원 정다포체)의 한 꼭짓점을 중심으로 한 3차원 투영 모습의 겉부분에 나타나며, 정이십사포체(24-cell)의 3차원 단면 중 하나이기도 하다. 또한 정이십사포체와 가장 가까운 3차원 도형으로 알려져 있다.
응용
마름모십이면체는 케플러 추측(Kepler conjecture)과 관련된 구(球)의 밀집 배치 문제 연구에서도 등장한다. 각 면의 대각선 비율이 √2인 마름모 면을 가진 이 도형은 결정학 및 기하학 연구에서 중요한 위치를 차지한다.
