개요
마그마(영어: magma)는 추상대수학과 범주론에서 다루어지는 대수 구조의 하나로, 집합과 그 위에 정의된 이항 연산 외에 아무런 추가 조건도 가지지 않는 가장 기본적인 형태의 대수 구조이다.
정의
마그마 $(M, \cdot)$는 이항 연산을 갖춘 집합이다. 즉, 집합 $M$ 위에 임의의 두 원소 $m, n \in M$에 대하여 유일한 원소 $m \cdot n \in M$을 대응시키는 함수(이항 연산)가 정의된 집합을 말한다. 이때 연산의 결과가 다시 해당 집합의 원소가 된다는 닫힘(closed) 성질이 정의에 포함된다. 마그마는 결합 법칙, 교환 법칙, 항등원의 존재 등과 같은 추가 조건이 전혀 부과되지 않는다는 점에서 가장 일반적인 대수 구조라 할 수 있다.
유래와 용어
'마그마'라는 용어는 니콜라 부르바키(Nicolas Bourbaki)가 도입한 것으로 알려져 있다. 프랑스어 'magma'는 '잡동사니'를 뜻하며, 아무 조건도 갖추지 않은 대수 구조라는 의미가 반영된 것으로 이해된다. 한편 이 개념은 과거에는 '준군(groupoid)' 또는 '이항(binar)'이라는 용어로도 불린 적이 있으나, '준군'이라는 용어는 범주론 등에서 다른 의미로도 사용되므로 혼동을 피하기 위해 '마그마'라는 용어가 널리 사용된다.
준동형
두 마그마 $(M, \cdot_M)$와 $(N, \cdot_N)$ 사이의 준동형(homomorphism) $f: M \to N$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다. 임의의 $m, m' \in M$에 대하여, $$ f(m \cdot_M m') = f(m) \cdot_N f(m') $$ 즉, 두 마그마의 연산 구조를 보존하는 함수로 정의된다.
마그마의 종류
마그마에 추가 조건을 부과하면 다음과 같은 보다 구체적인 대수 구조들이 도출된다.
- 단위 마그마(unital magma): 항등원을 갖는 마그마.
- 가환 마그마(commutative magma): 교환 법칙을 만족시키는 마그마.
- 중가환 마그마(medial magma): 중가환 법칙 $(mn)(pq) = (mp)(nq)$을 만족시키는 마그마.
- 유사군(quasigroup): 모든 좌·우 곱셈 작용이 전단사 함수인 마그마.
- 루프(loop): 항등원을 갖는 유사군.
- 반군(semigroup): 결합 법칙을 만족시키는 마그마.
- 모노이드(monoid): 항등원을 갖는 반군.
- 군(group): 모든 원소가 역원을 가지는 모노이드.
- 아벨 군(abelian group): 교환 법칙을 만족시키는 군.
이처럼 마그마는 반군, 모노이드, 군 등 다양한 대수 구조를 일반화하는 출발점이 된다.
의의
마그마는 결합성이나 교환성 등 특별한 성질이 없는 상태를 다루므로, 비결합적 연산(non-associative operation)을 포함한 가장 일반적인 이항 연산의 구조적 특성을 연구하는 데 기초가 된다. 컴퓨터과학에서도 데이터 타입 위의 이항 연산을 대수적으로 명세하는 과정에서 마그마의 개념이 활용된다.
