정의
리만 재배열 정리(Riemann rearrangement theorem, Riemann series theorem)는 실해석학의 정리로, 19세기 독일의 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름에서 유래하였다. 이 정리는 실수항으로 이루어진 조건 수렴(conditional convergence)하는 급수의 항들의 순서를 적절히 재배열하여, 임의의 실수로 수렴하거나 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하도록 만들 수 있음을 보여준다.
내용
실수열 {aₙ}에 대하여 급수 ∑aₙ이 수렴하지만 ∑|aₙ|은 발산하는 경우(즉, 조건 수렴하는 경우), 임의의 확장된 실수 s ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞}에 대하여 다음을 만족시키는 순열 σ: ℕ → ℕ이 존재한다.
∑ₙ₌₀^∞ a_{σ(n)} = s
즉, 조건 수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸는 것만으로도 원하는 임의의 값(유한 실수, 양의 무한대, 음의 무한대)으로 수렴하거나 발산하도록 조작할 수 있다.
증명의 개요
조건 수렴하는 급수 ∑aₙ에 대하여, 양수항만으로 이루어진 부분급수 ∑aₙ⁺와 음수항만으로 이루어진 부분급수 ∑aₙ⁻는 각각 +∞와 −∞로 발산한다. 이 사실을 이용하여, 원하는 목표값 s를 기준으로 양수항을 더하여 s를 초과할 때까지 더하고, 이어서 음수항을 더하여 s 미만이 될 때까지 더하는 과정을 반복함으로써 원하는 값으로 수렴하는 재배열을 구성할 수 있다. 각 단계에서 추가되는 항의 절댓값이 0으로 수렴하므로, 부분합의 오차는 점차 0에 가까워진다.
예시
대표적인 예로 교대조화급수(alternating harmonic series) ∑ₙ₌₁^∞ (−1)^{n−1}/n = ln 2를 들 수 있다. 이 급수는 조건 수렴한다. 항을 "양수 1개, 음수 2개"의 패턴으로 재배열하면 수렴값이 (1/2) ln 2로 변화한다.
1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − 1/12 + ⋯ = (1/2) ln 2
의의
이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙(덧셈의 순서를 바꾸어도 결과가 같음)이 무한 개의 실수의 합(급수)에 대해서는 성립하지 않을 수 있음을 보여준다. 즉, 절대 수렴하는 급수는 항의 재배열에 관계없이 동일한 합을 가지지만, 조건 수렴하는 급수는 항의 배열 순서에 따라 합이 달라질 수 있다. 이는 무한급수의 본질적인 성질을 이해하는 데 중요한 정리이다.
역사
1833년 오귀스탱루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)가 교대조화급수의 재배열에 따라 합이 달라질 수 있음을 처음 관찰하였고, 1837년 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)가 절대 수렴하는 급수에서는 이러한 현상이 발생하지 않음을 증명하였다. 이후 베른하르트 리만이 1854년 푸리에 급수에 관한 논문에서 이 정리를 완전히 정식화하였으며, 해당 논문은 그의 사후인 1866년에 출판되었다.
일반화
이 정리는 복소수 또는 유한 차원 실수 벡터 공간의 원소로 이루어진 급수로 확장되었으며, 이를 레비-슈타이니츠 정리(Lévy–Steinitz theorem)라고 한다. 또한 시에르핀스키(Wacław Sierpiński)는 양수항만 재배열하여 원래 합 이하의 값으로 수렴하도록 할 수 있음을 증명하였다.
