정의
리만 구(Riemann sphere)는 복소수 평면 $\mathbb{C}$에 무한대점 $\infty$을 하나 추가하여 얻는 위상공간이며, 일반적으로 복소수 전체와 무한대점을 합친 집합 $\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup {\infty}$ 로 표기한다. 위상적으로는 $\mathbb{R}^3$의 단위 구(표면)와 동형이며, 이는 스테레오그래픽 사영(stereographic projection)에 의해 구현된다.
구성 및 성질
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 위상 | $\widehat{\mathbb{C}}$는 콤팩트하고 연결된 2차원 매니폴드이며, 구형 위상(spherical topology)을 가진다. |
| 복소 구조 | 복소 해석학에서 리만 구는 복소 곡면으로서, 복소함수들의 전역적인 확장을 가능하게 한다. 모든 유리함수는 리만 구 위에서 전사적인 사영(meromorphic) 함수가 된다. |
| 사영 | 스테레오그래픽 사영을 통해 $\widehat{\mathbb{C}}$와 단위 구 ${(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2=1}$ 사이에 일대일 연속 대응이 존재한다. 구의 남극점이 $\infty$에 해당한다. |
| 대수적 측면 | 리만 구는 차수가 0인 복소 프로젝트 라인 $\mathbb{CP}^1$와 동형이며, $\mathbb{CP}^1 \cong \widehat{\mathbb{C}}$ 로 표기된다. |
| 군 작용 | 리만 구에 대한 자기동형군은 복소수 직선군 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 로, 이는 멀티플리케이션 변환(모비우스 변환)으로 나타난다. |
| 응용 | 복소 함수 이론, 대수기하학, 리만 곡면 이론, 양자장론 등에서 기본적인 모델로 사용된다. 특히, 무한대점에서의 거동을 다루는 데 유용하다. |
역사 및 어원
‘리만 구’라는 명칭은 독일 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1826–1866)의 이름을 따 왔으며, 그의 복소 평면에 무한대점을 첨가한 개념을 기념한다. ‘구’는 한국어로 ‘sphere’를 의미한다.
주요 참고문헌
- L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd ed., McGraw‑Hill, 1979.
- J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, 1997.
- S. Lang, Complex Analysis, Springer, 1999.
관련 용어
- 복소 평면 (Complex plane)
- 유리함수 (Meromorphic function)
- 모비우스 변환 (Möbius transformation)
- 복소 프로젝트 라인 $\mathbb{CP}^1$
리만 구는 현대 복소 해석학과 기하학에서 기본적이며, 무한대점을 포함한 복소수 체계의 전역적 성질을 이해하는 핵심 도구로 널리 활용된다.
