리 쌍대대수(Lie雙對代數, 영어: Lie coalgebra)는 수학, 특히 리 대수(Lie algebra) 이론에서 리 대수의 정의를 쌍대화(dualize)하여 얻어지는 쌍대대수(coalgebra) 구조이다. 벡터 공간에 주어진 리 대수 구조의 쌍대 공간에서 대응되는 구조로 이해할 수 있으며, 유한 차원에서는 리 대수와 리 쌍대대수가 서로 쌍대적인 대상이다.
정의
체 k 위의 벡터 공간 E에 선형 사상 d: E → E∧E (E와 E의 외대수(exterior product))이 주어졌다고 하자. d를 외대수 위에서 차수 1의 등급 미분(derivation)으로 유일하게 확장할 수 있으며, d² = 0이 성립할 때 순서쌍 (E, d)를 리 쌍대대수라고 한다. 이때 d는 공곱(coproduct) 또는 공공교환자(cocommutator)로 불리며, 반대칭성(antisymmetry) 조건과 공야코비 항등식(dual Jacobi identity, 즉 cocycle condition)을 만족해야 한다.
동등한 정의로, 리 쌍대대수는 선형 사상 d: E → E⊗E가 다음을 만족하는 경우로 설명되기도 한다.
- 반대칭성: τ∘d = -d (여기서 τ는 순서 뒤집기 사상)
- 공순환 조건(cocycle condition, 또는 공라이프니츠 법칙)
리 대수와의 쌍대성
유한 차원 벡터 공간에서, 리 대수의 리 괄호 [·,·]: g×g → g의 쌍대는 사상 g* → g∧g를 유도하며, 이는 쌍대 공간 위에 리 쌍대대수 구조를 정의한다. 반대로 리 쌍대대수의 쌍대 공간은 자연스럽게 리 대수 구조를 갖게 된다. 야코비 항등식과 공순환 조건은 이러한 쌍대성 아래에서 서로 대응하는 조건이다.
예시와 응용
- 매끄러운 다양체 위의 미분 형식들로 이루어진 드람 복합체(de Rham complex)는 리 쌍대대수의 구조를 갖는다.
- 리 쌍대대수는 리 비대수(Lie bialgebra)와 양자군(quantum group) 이론, 양-백스터 방정식(Yang–Baxter equation) 연구 등에서 중요한 역할을 한다.
리 쌍대대수는 수학의 대수적 구조론에서 확립된 개념으로, 관련 이론은 W. 마이클리스(Walter Michaelis)의 "Lie coalgebras"(1980) 등의 연구를 통해 체계적으로 정립되었다.
