르장드르 변환(Legendre transformation)은 볼록함수를 다른 볼록함수로 변환하는 연산이다. 1787년 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 최소 곡면 문제를 연구하면서 처음 도입하였다. 이 변환은 한 좌표에 대하여 자연스러운 함수를, 이에 대응하는 새로운 변수(흔히 운동량 좌표에 비유됨)에 대하여 자연스러운 함수로 바꾸는 것으로 이해할 수 있다.
정의
벡터 공간 V 속의 볼록집합 A 위에 연속 볼록함수 f: X → ℝ가 주어졌을 때, f의 도함수의 상 A⋆ = ∇f(A)를 정의한다. f의 르장드르 변환 f⋆: A⋆ → ℝ은 다음과 같다.
f⋆(x⋆) = sup_{x∈A} { x⋆x - f(x) }
만약 f가 연속 미분 가능하다면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다. 즉 f′(x) = x⋆ ⇔ x = (f′)^{-1}(x⋆)일 때,
f⋆(x⋆) = x⋆x - f(x) = (f′)^{-1}(x⋆)·x⋆ - f((f′)^{-1}(x⋆))
로 표현된다.
성질
르장드르 변환의 가장 중요한 성질 중 하나는 스스로의 역(involution)이라는 점이다. 즉, 어떤 함수에 르장드르 변환을 두 번 적용하면 다시 원래 함수를 얻는다. 이는 다음 관계로부터 유도된다.
df⋆/dx⋆ = x 이므로, f⋆⋆(x) = xx⋆ - f⋆(x⋆) = xx⋆ - (xx⋆ - f(x)) = f(x)
물리학에서의 응용
르장드르 변환은 물리학에서 중요한 도구로 사용된다. 대표적인 사례는 다음과 같다.
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라그랑지언과 해밀토니언의 관계: 라그랑지언 L(q, q̇, t)에 르장드르 변환을 적용하면 해밀토니언 H(q, p, t) = p·q̇ - L을 얻는다. 여기서 p = ∂L/∂q̇는 일반화 운동량이다. 이 변환을 통해 라그랑주 역학에서 해밀턴 역학으로 전환할 수 있다.
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열역학적 퍼텐셜: 열역학에서 내부 에너지 U(S, V)에 르장드르 변환을 적용하면 엔탈피 H(S, p), 헬름홀츠 자유 에너지 F(T, V), 깁스 자유 에너지 G(T, p) 등 다양한 열역학적 퍼텐셜을 얻을 수 있다. 이는 자연 변수(natural variable)를 변경하는 데 사용된다.
수학에서의 응용
볼록 해석(convex analysis)에서 르장드르 변환은 함수의 켤레(conjugate)를 구하는 연산으로 사용된다. 최적화 이론, 변분법, 편미분방정식 이론 등 여러 수학 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 특히 페니엘-르장드르 변환(Fenchel-Legendre transform)으로 일반화되어 볼록 최적화 이론의 기초를 이룬다.
예시
다양한 함수에 대한 르장드르 변환의 예는 다음과 같다.
- f(x) = ax + b (일차함수) → f⋆(x⋆) = -b, 정의역 {a}
- f(x) = |x|^p/p (p > 1) → f⋆(x⋆) = |x⋆|^{p⋆}/p⋆, 단 1/p + 1/p⋆ = 1
- f(x) = exp(x) → f⋆(x⋆) = x⋆(ln(x⋆) - 1), 정의역 ℝ⁺
- f(x) = x ln(x) → f⋆(x⋆) = exp(x⋆ - 1), 정의역 ℝ
르장드르 변환은 수학과 물리학 전반에 걸쳐 널리 사용되는 확립된 개념이며, 특히 해석역학과 열역학에서 독립변수를 변환하는 표준적인 도구로 자리잡고 있다.
