루트군(英: root group)은 대수군·리군·리군 사상의 구조 이론에서 등장하는 개념으로, 주로 근(root)과 연관된 일변량(1-parameter) 부분군을 가리킨다. 근은 리군·리 대수의 구조를 나타내는 벡터공간 상의 비자명한 요소이며, 근에 대응하는 근공간(root space) 위에 정의된 일변량 군이 루트군을 형성한다.
정의
-
리군·리 대수: 리군 $G$의 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대해, 토르스($\mathfrak{t}$)를 최대 트리얼(구조)라 하면, $\mathfrak{g}$는 $$ \mathfrak{g}= \mathfrak{t} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}\alpha $$ 로 분해된다. 여기서 $\Phi$는 근계(root system)이며, $\mathfrak{g}\alpha$는 근 $\alpha$에 대한 근공간이다.
-
루트군: 각 근 $\alpha \in \Phi$에 대해, 근공간 $\mathfrak{g}\alpha$를 통해 지수화(exp)된 1-parameter 아벨 군 $$ U\alpha = {,\exp(t X) \mid t \in K,, X \in \mathfrak{g}_\alpha ,} $$ (여기서 $K$는 기반 체) 을 루트군이라 한다.
-
대수군: 대수군 $G$가 체 $K$ 위에 정의될 때, 각 근 $\alpha$에 대응하는 대수적 일변량 부분군 $U_\alpha$가 루트군이다. 이들은 보통 ‘근 부분군(root subgroup)’이라고도 불린다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 일변량성 | 루트군은 파라미터 $t$에 따라 일변량(1-parameter) 아벨 군이며, 보통 $\mathbb{G}_a$와 동형이다. |
| 통합성 | 모든 루트군을 곱한 것(또는 그들이 생성하는 부분군)은 보통 Borel 부분군 $B$ 혹은 최대 유니포믹 부분군 $U$를 형성한다. |
| 정규성 | 루트군 자체는 일반적으로 $G$의 정규 부분군은 아니지만, 특정 근에 대해 Weyl 군 원소가 작용한다. |
| 구조 상수 | 서로 다른 루트군 사이의 교환 관계는 체의 특성 및 근계의 구조에 따라 Chevalley 관계식으로 기술된다. |
| 유한군 | 유한체 위의 리 대수군(예: $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$)에서는 루트군이 유한 차원의 아벨 군이며, 차원은 보통 $q$이다. |
예시
-
$\mathrm{SL}_2(K)$
- 근계는 $\Phi = {\pm \alpha}$이며, 근공간 $\mathfrak{g}\alpha$와 $\mathfrak{g}{-\alpha}$는 각각 $\begin{pmatrix}0 & * \ 0 & 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 0 \ * & 0\end{pmatrix}$ 형태이다.
- 이에 대한 루트군은
$$ U_\alpha = \Bigl{ \begin{pmatrix}1 & t \ 0 & 1\end{pmatrix} \mid t\in K \Bigr},\quad U_{-\alpha} = \Bigl{ \begin{pmatrix}1 & 0 \ t & 1\end{pmatrix} \mid t\in K \Bigr}. $$
-
$\mathrm{GL}_n(K)$
- 근계는 $\Phi = {e_i - e_j \mid i
eq j}$이며, 각각의 근군 $U_{e_i-e_j}$는 $i$행 $j$열에만 비영인 항을 갖는 단위 행렬 형태이다:
$$ U_{ij}(t)=I_n + tE_{ij},\quad t\in K. $$
- 근계는 $\Phi = {e_i - e_j \mid i
eq j}$이며, 각각의 근군 $U_{e_i-e_j}$는 $i$행 $j$열에만 비영인 항을 갖는 단위 행렬 형태이다:
관련 개념
- 근계(root system) – 루트군을 정의하기 위한 근의 집합.
- Weyl 군 – 근계를 보존하며 루트군 사이의 교환 관계를 제어한다.
- Chevalley 군 – 근군을 이용해 대수군을 정수형으로 정의한 구조.
참고문献
- J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, 1972.
- R. Steinberg, Lectures on Chevalley groups, Yale University, 1968.
- Wikipedia, “Root subgroup”, https://en.wikipedia.org/wiki/Root_subgroup (접근일: 2026‑06‑04).
※ 위 내용은 현재까지 확보된 학술 자료와 공신력 있는 참고문헌을 바탕으로 서술한 것이며, 추가적인 연구에 따라 세부 사항이 보완될 수 있다.