정의
로그 정규 분포는 확률 변수 $X$에 대하여 그 로그값 $\ln X$가 정규 분포를 따르는 경우를 말한다. 즉, 만약 $\ln X \sim N(\mu, \sigma^{2})$이면 $X$는 로그 정규 분포를 가진다고 정의한다.
확률 밀도 함수 (PDF)
$x>0$인 경우 로그 정규 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.
$$ f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp!\left[-\frac{(\ln x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right], $$
여기서 $\mu$와 $\sigma$는 각각 $\ln X$의 평균 및 표준편차이며, $\sigma>0$이다.
누적 분포 함수 (CDF)
$F(x)=\Phi!\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)$ 로 표현되며, $\Phi$는 표준 정규 분포의 누적 분포 함수이다.
주요 성질
| 성질 | 내용 |
|---|---|
| 평균 | $\exp!\left(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)$ |
| 중앙값 | $\exp(\mu)$ |
| 모드 | $\exp(\mu-\sigma^{2})$ |
| 분산 | $\bigl[\exp(\sigma^{2})-1\bigr]\exp!\left(2\mu+\sigma^{2}\right)$ |
| 왜도 | $\bigl[\exp(\sigma^{2})+2\bigr]\sqrt{\exp(\sigma^{2})-1}$ |
| 첨도 | $\exp(4\sigma^{2})+2\exp(3\sigma^{2})+3\exp(2\sigma^{2})-6$ |
응용 분야
- 생물학·의학: 개체 크기, 혈중 농도 등 양의 실수 값이 비대칭적으로 분포하는 현상.
- 경제·금융: 주가 변동, 소득 분포, 부동산 가격 등에서 로그 정규 가정을 사용해 모델링.
- 공학: 신호 처리, 낭비 시간, 파손 강도 등과 같은 양의 연속 변수.
유도 배경 및 어원
- “로그(log)”는 “logarithm(대수)”의 한글 표기로, 변수를 로그 변환함을 의미한다.
- “정규(normal)”는 “정규 분포(normal distribution)”와 연계된다. 따라서 “로그 정규 분포”는 “로그를 취했을 때 정규 분포를 따르는 변수의 분포”라는 의미를 가진다.
관련 개념
- 정규 분포: 로그 변환 전의 변수 $\ln X$가 따르는 분포.
- 지수 분포, 감마 분포 등 양의 실수 값을 갖는 다른 연속 확률 분포와 비교될 수 있다.
참고
로그 정규 분포는 확률론·통계학 교과서 및 전문 문헌에 널리 다루어지는 표준 모델이며, 수학적 정의와 성질은 정형화된 문헌에서 일관되게 제시된다.
