레일리 분포는 실수값을 갖는 연속 확률 분포 중 하나로, 주로 양의 실수 영역에서 정의된다. 이 분포는 2차원 독립적인 가우시안(정규) 난수의 제곱합의 제곱근이 되는 경우에 나타난다. 수학적으로는 다음과 같이 정의된다.
확률밀도함수(PDF)
$ f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^{2}} \exp!\left(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right) $ for $ x \ge 0 $
여기서 $\sigma > 0$는 스케일 파라미터이며, $\sigma$가 클수록 분포는 더 넓게 퍼진다.
누적분포함수(CDF)
$ F(x;\sigma) = 1 - \exp!\left(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right) $ for $ x \ge 0 $
주요 특성
| 특성 | 값 |
|---|---|
| 평균 | $\sigma \sqrt{\pi/2}$ |
| 분산 | $\frac{4-\pi}{2},\sigma^{2}$ |
| 모드(최빈값) | $\sigma$ |
| 중앙값 | $\sigma \sqrt{2 \ln 2}$ |
| 분위수(예: 95th percentile) | $\sigma \sqrt{-2\ln(0.05)}$ |
응용 분야
- 통신 및 레이더: 전파의 응답 강도, 특히 무선 신호가 다중 경로 전파를 겪을 때 발생하는 신호 세기의 통계 모델링에 사용된다.
- 이미지 처리: 이미지 노이즈(특히 라디얼 대칭 노이즈) 모델링에 적용된다.
- 물리학: 입자 속도 분포, 특히 열역학적 평형 상태에서 입자가 2차원 평면 내에서 무작위로 움직일 때의 속도 크기 분포를 설명한다.
- 통계학: 모수 추정 및 가설 검정에서 특정 상황(예: 두 독립 정규 변수가 만든 벡터의 크기)에서의 표본 분포로 활용된다.
관련 분포
- 와이베르 분포(Weibull distribution): 레일리 분포는 와이베르 분포의 특수한 경우(k=2)이다.
- 람다(양의 정규) 분포: 레일리 분포는 2차원 정규 분포의 반지름에 해당한다는 점에서 연관성이 있다.
추정 방법
표본 $x_1, x_2, \dots, x_n$이 레일리 분포를 따른다고 가정할 때, 최대우도추정법(MLE)에 의해 스케일 파라미터 $\sigma$는
$$
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}
$$
로 계산된다.
참고
레일리 분포는 레이리(Rayleigh)라는 영국 물리학자의 이름을 따서 명명되었다. 해당 분포에 대한 보다 상세한 수학적 전개와 응용 사례는 통계학 및 신호처리 교과서, 그리고 전자공학 분야의 표준 문헌에 수록되어 있다.
