레비-슈타이니츠 정리(Levi‑Civita theorem)는 리만 기하학에서 기본적인 정리로, 임의의 리만 다양체 $(M,g)$에 대해 유일한 토션이 없고 계량을 보존하는 선형 연결(리만 연결)이 존재한다는 내용을 담고 있다. 이 연결을 레비-슈타이니츠 연결(Levi‑Civita connection)이라 하며, 다음 두 조건을 만족한다.
- 계량 보존성(metric compatibility)
$$
abla_X g = 0 \quad (\forall, X \in \mathfrak{X}(M)) $$ 즉, 연결 $ abla$에 의해 정의된 공변 미분이 계량 $g$를 변하지 않게 만든다.
- 무토션성(torsion‑free)
$$ T^ abla(X,Y)= abla_X Y - abla_Y X - [X,Y]=0 \quad (\forall, X,Y \in \mathfrak{X}(M)) $$ 즉, 연결의 토션 텐서가 영이다.
정리의 증명은 좌표계에서 코시-크리스토펠 기호 $\Gamma^{k}{ij}$를 $$ \Gamma^{k}{ij} =\tfrac12 g^{kl}\bigl(\partial_i g_{jl}+\partial_j g_{il}-\partial_l g_{ij}\bigr) $$ 와 같이 정의함으로써 이루어진다. 이 정의는 위 두 조건을 만족시키며, 반대로 위 두 조건을 만족하는 연결이 존재한다면 반드시 위와 동일한 형태의 기호를 가져야 함을 보인다. 따라서 리만 다양체 위에 존재하는 레비-슈타이니츠 연결은 유일하다.
주요 활용
- 곡률 텐서: 레비-슈타이니츠 연결을 이용해 리만 곡률 텐서를 정의하고, 곡률의 다양한 대수적·기하학적 성질을 연구한다.
- 게오데식 방정식: 일반 상대성 이론에서 시공간의 계량을 기술하는 방정식(아인슈타인 방정식)의 이론적 배경이 된다.
- 평행 이동: 레비-슈타이니츠 연결을 통해 정의되는 평행 이동은 길이와 각을 보존하는 특성을 가지며, 이는 곡률을 탐구하는 데 핵심적인 도구가 된다.
참고 문헌
- S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley (1963).
- M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992).
- R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press (1984).
