런던 방정식(London equations)은 초전도체 내부와 주위에 흐르는 초전도 전류와 전자기장 사이의 관계를 기술하는 구성 방정식이다. 1935년 독일 출신의 물리학자 프리츠 런던(Fritz London)과 하인츠 런던(Heinz London) 형제에 의해 제안되었다. 이 방정식은 초전도 현상을 이론적으로 설명한 최초의 모델로, 특히 1933년 마이스너(Meissner)와 옥센펠트(Ochsenfeld)가 발견한 마이스너 효과(Meissner effect)를 정량적으로 설명하는 데 성공했다는 점에서 학술적 의의가 크다.
일반 도체에서 옴의 법칙이 전류와 전기장의 가장 단순한 구성 관계를 나타내는 것에 비유할 수 있듯이, 런던 방정식은 초전도체의 전자기적 성질을 설명하는 가장 단순하면서도 의미 있는 구성 방정식으로 여겨진다. 이후 1957년에 발표된 BCS 이론(Bardeen–Cooper–Schrieffer theory)과 같은 미시적 초전도 이론의 등장 전까지, 런던 방정식은 초전도 현상을 다루는 핵심 이론적 틀로 기능하였다.
두 개의 방정식
런던 방정식은 측정 가능한 장(field)으로 표현할 때 다음의 두 방정식으로 이루어진다.
제1 런던 방정식:
∂j_s/∂t = (n_s·e²/m)·E
제2 런던 방정식:
∇ × j_s = −(n_s·e²/m)·B
여기서 j_s는 초전도 전류 밀도, E와 B는 각각 초전도체 내부의 전기장과 자기장, e는 전자의 전하, m은 전자의 질량, n_s는 초전도 전하 운반자의 수 밀도와 관련된 현상론적 상수이다.
제1 방정식은 초전도체 내 전자가 저항 없이 가속됨을 나타내며, 제2 방정식은 초전도 전류의 회전(curl)과 자기장을 연결한다. 제1 방정식에서 시간 미분 항을 제거하고 패러데이 법칙을 적용하면 제2 방정식이 유도될 수 있는데, 이 과정에서 시간 미분이 0이 되도록 하는 상수 해가 물리적으로 타당하지 않다는 점을 런던 형제는 마이스너 효과의 관측 결과를 근거로 하여 배제하였다. 즉 완전 도체(perfect conductor)의 경우에는 자기장의 시간 변화율이 지수적으로 감소하는 반면, 초전도체에서는 자기장 자체가 내부에서 소멸한다는 차이가 있다.
두 방정식은 벡터 퍼텐셜 A를 이용하여 하나의 방정식으로 합쳐질 수 있다. 이때 발산이 0이 되도록 하는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge) 조건과 초전도체 내부에서 퍼텐셜이 소멸한다는 조건 등을 충족시키는 특정 게이지(런던 게이지, London gauge)를 선택해야 하며, 게이지를 바꾸면 식이 성립하지 않는다. 런던 게이지 조건에서 런던 방정식은 다음과 같이 표현된다.
j_s = −(n_s·e²/m)·A
런던 투과 깊이
제2 런던 방정식에 앙페르 법칙(∇ × B = μ₀j)을 적용하면 자기장에 대한 헬름홀츠 방정식이 유도된다.
∇²B = (1/λ_s²)·B
여기서 λ_s = √(m/(μ₀·n_s·e²))는 런던 투과 깊이(London penetration depth)라고 불리는 특성 길이 척도이다. 이 값은 초전도체 표면에서 인가된 외부 자기장이 내부로 침투하여 지수함수적으로 감소할 때, 표면 자기장의 1/e (약 36.8%)까지 감쇠하는 거리를 의미한다. 실제 초전도 물질에서 런던 투과 깊이는 대체로 50~500 nm 범위에 해당한다.
예를 들어, 초전도체 경계면에 평행한 방향으로 균일한 자기장 B₀이 가해질 때, 경계로부터의 수직 거리 x에 따른 초전도체 내부 자기장은 다음과 같이 표현된다.
B_z(x) = B₀·e^(−x/λ_s)
이 결과는 초전도체 내부에서 자기장이 지수적으로 감소함을 보여주며, 초전도체가 내부 자기장을 밀어내는 마이스너 효과와 일치하는 물리적 내용이다. 또한 앙페르 법칙을 다시 적용하면 초전도 전류가 초전도체 표면 근처에 집중적으로 흐른다는 점도 함께 유도된다.
응용과 의의
런던 방정식은 자기장의 양자화(flux quantization)를 예측하는 데에도 사용된다. 초전도 상태의 전하 운반자가 보손형 파동함수로 기술된다고 가정하면, 초전도체 내부의 자기선속이 플랑크 상수와 전하량으로 정의되는 자기선속 양자(Φ₀)의 정수배로 양자화된다는 결과가 도출된다.
런던 방정식은 현상론적(phenomenological) 모델로서, 초전도체의 미시적 메커니즘 자체를 설명하지는 않는다. 이후 등장한 BCS 이론이 초전도 현상의 근본 원리를 설명하는 미시적 이론으로 자리 잡으면서, 런던 방정식은 BCS 이론의 특정 한계에서도 자연스럽게 도출될 수 있음이 밝혀졌다. 오늘날에도 런던 방정식은 초전도에 대한 거의 모든 현대적 입문 교재의 출발점으로 사용되며, 초전도체의 전자기적 특성을 다루는 표준적인 이론적 도구로 남아 있다.
관련 개념
- 초전도 현상
- 마이스너 효과
- 런던 투과 깊이
- BCS 이론
