정의
라플라스 연산자(Laplace operator) 또는 라플라시안(Laplacian)은 수학에서 2차 미분 연산자의 일종으로, 스칼라 함수의 기울기(gradient)에 대한 발산(divergence)으로 정의된다. 기호는 그리스 대문자 델타(Δ) 또는 ∇²로 표기한다. 즉, Δf = ∇·(∇f) = ∇²f의 관계가 성립한다.
좌표계별 표현
직교 좌표계 (n차원 유클리드 공간): Δf = Σᵢ₌₁ⁿ ∂²f/∂xᵢ²
2차원 극좌표계: Δf = (1/r)(∂/∂r)(r ∂f/∂r) + (1/r²)(∂²f/∂θ²)
3차원 원통 좌표계: Δf = (1/ρ)(∂/∂ρ)(ρ ∂f/∂ρ) + (1/ρ²)(∂²f/∂φ²) + (∂²f/∂z²)
3차원 구면 좌표계: Δf = (1/r²)(∂/∂r)(r² ∂f/∂r) + (1/(r² sin θ))(∂/∂θ)(sin θ ∂f/∂θ) + (1/(r² sin²θ))(∂²f/∂φ²)
일반화
리만 다양체 위에서 라플라스 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자(Laplace-Beltrami operator)로 일반화되며, 다음과 같은 형태를 가진다. Δf = (1/√(det g)) ∂ᵢ(√(det g) gⁱʲ ∂ⱼf) 여기서 g는 리만 계량 텐서, gⁱʲ는 그 역행렬, det g는 계량 텐서의 행렬식이다.
보다 일반적으로, 벡터 다발 위의 라플라스 연산자는 코쥘 접속(∇)을 사용하여 Δ = div ∘ ( )# ∘ ∇의 합성으로 정의된다. 텐서장에 대해서는 레비치비타 접속을 사용한 라플라스-벨트라미 연산자가 적용된다.
민코프스키 공간에서의 라플라스 연산자는 달랑베르 연산자(d'Alembertian, □)라고 불리며, 이 경우 타원형 미분 연산자가 아니라 쌍곡형 미분 연산자이다.
성질
콤팩트 리만 다양체 위에서 라플라스 연산자의 고윳값 {λᵢ}는 음이 아닌 실수들의 가산 집합이며, 0 = λ₀ < λ₁ ≤ λ₂ ≤ λ₃ ≤ …의 형태를 가진다. 상수 함수가 λ₀ = 0에 대응하는 고유 벡터이다. 양자역학에서 H = -Δ는 자유 입자의 해밀토니언 연산자에 해당한다.
리크네로비츠-오바타 정리(Lichnerowicz-Obata theorem)에 따르면, 리치 곡률이 양수인 n차원(n ≥ 2) 콤팩트 리만 다양체에서 첫 번째 비자명 고윳값 λ₁은 하한을 가지며, 이 하한이 포화될 경우 해당 다양체는 초구(구면)이다.
역사
2차 편미분 방정식인 라플라스 방정식과 그 속에 등장하는 2차 미분 연산자는 레온하르트 오일러가 유체역학 연구 과정에서 최초로 도입하였다. 장 르 롱 달랑베르 역시 독자적으로 라플라스 방정식을 연구하였다. 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace, 1749-1827)는 만유인력의 법칙을 연구하는 과정에서 라플라스 방정식을 재발견하였으며, 이에 등장하는 2차 미분 연산자가 그의 이름을 따 라플라스 연산자로 불리게 되었다.
다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자는 에우제니오 벨트라미(Eugenio Beltrami)가 고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다.
응용
라플라스 연산자는 물리학과 공학의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 한다.
- 전자기학: 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자를 취하면 푸아송 방정식이 되며, 전하가 없는 영역에서는 라플라스 방정식(Δφ = 0)이 성립한다.
- 열전도: 열 방정식 ∂T/∂t = α∇²T에서 공간적 2차 미분 항으로 나타난다.
- 파동 방정식: ∂²u/∂t² = c²∇²u에서 공간적 파동 전파를 기술한다.
- 유체역학: 비압축성, 비회전 유체 흐름의 퍼텐셜 이론에 사용된다.
- 중력 퍼텐셜: 주어진 질량 밀도 분포에 따른 중력 퍼텐셜을 기술한다.
- 이미지 처리: 블롭 검출(blob detection)과 에지 검출(edge detection) 등에 사용된다.
- 양자역학: 슈뢰딩거 방정식에서 운동 에너지 항을 나타낸다.
라플라스 방정식(Δf = 0)의 해는 조화 함수(harmonic function)라고 불리며, 해석적 성질(매끄러움, 평균값 성질, 최댓값 원리 등)을 가진다.
