라그랑주 보간법(Lagrange interpolation)은 수치해석(Numerical Analysis) 분야에서 사용되는 다항식 보간법(polynomial interpolation)의 한 기법이다. 18세기 프랑스의 수학자 조제프루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange, 1736~1813)의 이름에서 유래하였다.
정의
서로 다른 $n+1$개의 점 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$이 주어졌을 때, 이 모든 점을 정확히 지나는 $n$차 이하의 다항식 $P(x)$는 유일하게 존재하며, 다음과 같이 표현된다.
$$ P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x) $$
여기서 $L_j(x)$를 라그랑주 기저 다항식(Lagrange basis polynomial)이라고 하며, 다음과 같이 정의된다.
$$ L_j(x) = \prod_{\substack{i=0 \ i eq j}}^{n} \frac{x - x_i}{x_j - x_i} $$
기저 다항식 $L_j(x)$는 $x = x_j$일 때 1의 값을, 그 외의 $x_k (k eq j)$에서는 0의 값을 갖는다. 이 성질(크로네커 델타, $L_j(x_k) = \delta_{jk}$) 덕분에 $P(x)$는 모든 주어진 점을 정확히 통과하게 된다.
장점과 단점
라그랑주 보간법의 장점은 수식 구성이 직관적이고 간편하다는 것이다. 기존의 행렬 연산이나 연립방정식 풀이 없이도 직접 다항식을 작성할 수 있다.
단점으로는 새로운 점이 추가될 경우 이전의 계산 정보를 재활용하기 어려워 처음부터 모든 항을 다시 계산해야 한다는 점이 있다. 이와 달리, 뉴턴의 분할 차분법(Newton's divided differences)은 점이 추가될 때 기존 계산을 활용할 수 있다. 또한 차수가 높아질수록 구간 경계 부근에서 진동 오차가 커지는 현상(룽게 현상, Runge's phenomenon)이 발생할 수 있어, 고차 보간보다는 낮은 차수의 구간별 보간(스플라인 보간 등)이 선호되기도 한다.
활용
라그랑주 보간법은 주어진 이산 데이터를 통해 함수의 근삿값을 구하는 보간(interpolation) 문제에 사용된다. 불연속적인 실험 데이터나 관측치 사이의 값을 추정할 때 활용되며, 수치 미분(numerical differentiation), 수치 적분(numerical integration), 함수 근사 등의 기초 이론으로도 쓰인다. 더 나아가 비밀 공유 기법(Shamir's Secret Sharing)과 같은 암호학 분야에서도 라그랑주 보간법의 원리가 응용된다.
