라그랑주 다항식(Lagrange polynomial)은 수치해석에서 주어진 데이터 점들의 집합을 모두 통과하는 다항식을 보간(interpolation)하는 방법 중 하나로, 프랑스의 수학자 조제프루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 이름에서 유래하였다. 해당 개념은 1779년 에드워드 웨어링(Edward Waring)에 의해 처음 발견되었고, 1783년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 재발견되었다.
정의
서로 다른 k+1개의 데이터 점 (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (xₖ, yₖ)이 주어졌을 때, 라그랑주 형식의 보간 다항식은 다음과 같은 선형 결합으로 정의된다.
L(x) = Σⱼ₌₀ᵏ yⱼ ℓⱼ(x)
여기서 ℓⱼ(x)는 라그랑주 기초 다항식(Lagrange basis polynomial) 이라고 불리며, 다음과 같이 정의된다.
ℓⱼ(x) = ∏ᵢ₌₀,ᵢ≠ⱼᵏ (x - xᵢ) / (xⱼ - xᵢ)
각 ℓⱼ(x)는 x = xⱼ에서 값이 1이 되고, 다른 모든 데이터 점 xᵢ(i≠j)에서는 값이 0이 되도록 설계되어 있다. 이에 따라 전체 다항식 L(x)는 모든 주어진 점 (xⱼ, yⱼ)를 정확히 통과하게 된다.
성질
라그랑주 다항식은 주어진 n+1개의 점을 통과하는 유일한 n차 이하의 다항식이라는 성질을 가진다. 다른 보간법(예: 뉴턴 보간법)과 달리 계수를 구하기 위해 연립방정식을 풀 필요 없이 직접 계산이 가능하다는 장점이 있다. 그러나 새로운 점이 추가될 경우 기존의 모든 항을 다시 계산해야 하므로, 뉴턴 보간법에 비해 계산 효율성이 떨어지는 단점이 있다.
활용 분야
라그랑주 다항식은 주로 다음과 같은 분야에서 활용된다.
- 수치해석에서 함수의 근사 및 보간
- 수치 적분(예: 심프슨 공식)의 기초
- 컴퓨터 그래픽스에서 곡선 생성
- 데이터 사이언스에서 불연속 데이터의 연속적 모델링
참고 사항
라그랑주 다항식은 고차 다항식으로 갈수록 데이터 점 사이에서 진동이 심해지는 룽게 현상(Runge's phenomenon) 이 발생할 수 있으며, 이를 완화하기 위해 구간별로 저차 다항식을 사용하는 스플라인 보간(spline interpolation) 이 대안으로 사용되기도 한다.
