디리클레 정리(Dirichlet's theorem)는 19세기 독일의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805–1859)의 이름이 붙은 여러 수학 정리를 통칭하는 용어이다. 디리클레는 정수론, 해석학, 대수학 등 다양한 분야에 걸쳐 중요한 결과를 남겼으며, 그의 이름을 딴 정리들은 각각 독립적인 내용과 의의를 가진다.
1. 디리클레 등차수열 정리 (Dirichlet's theorem on arithmetic progressions)
가장 널리 알려진 디리클레 정리로, 해석적 정수론의 시초로 평가된다. 이 정리는 다음과 같이 진술된다: 첫 항 a와 공차 d가 서로소인 양의 정수일 때, 등차수열 a, a+d, a+2d, a+3d, … 에는 무한히 많은 소수가 포함된다. 즉, a와 d가 서로소이면 a mod d의 임의의 잉여류에 속하는 소수가 무한히 존재한다.
레온하르트 오일러가 a=1인 특수한 경우를 먼저 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 일반적인 형태로 추측을 확장하였다. 디리클레는 1837년 이 정리를 증명하기 위해 수론에 해석학적 기법을 도입하였는데, 이는 해석적 수론(analytic number theory)의 성립으로 이어졌다. 증명의 핵심은 디리클레 L-함수 L(s, χ)를 정의하고, 자명하지 않은 디리클레 지표(Dirichlet character)에 대해 L(1, χ) ≠ 0임을 보이는 데 있다. 1949년 아틀레 셀베르그(Atle Selberg)는 보다 초등적인 증명을 발표하였다.
이 정리의 더 강한 형태에 따르면, 해당 등차수열에 포함된 소수들의 역수의 합은 발산하며, 같은 법 d에 대한 서로 다른 잉여류들 사이에 소수들이 점근적으로 균등하게 분포한다. 즉, x 이하의 소수 중 p ≡ a (mod d)를 만족하는 소수의 개수 π(x; d, a)는 소수 계량 함수 π(x)를 오일러 피 함수 φ(d)로 나눈 값에 점근적으로 수렴한다.
2. 디리클레 근사 정리 (Dirichlet's approximation theorem)
디오판토스 근사 이론의 기본 결과로, 임의의 실수 α와 자연수 N에 대하여 1 ≤ q ≤ N인 정수 p, q가 존재하여 |qα - p| < 1/N이 성립한다는 정리이다. 이로부터 임의의 무리수 α에 대해 |α - p/q| < 1/q²을 만족하는 유리수 p/q가 무한히 많이 존재함이 따라 나온다. 증명에는 비둘기집 원리(pigeonhole principle)가 사용되며, 이 원리의 명명 역시 디리클레에게 기인한다.
3. 디리클레 단위 정리 (Dirichlet's unit theorem)
대수적 정수론의 정리로, 대수적 수체(algebraic number field)의 정수환에 포함된 단원군(unit group)의 구조를 설명한다. 구체적으로, 차수 n = s + 2t인 대수적 수체 K의 정수환의 단원군은 r = s + t - 1개의 기본 단위(basic unit)들에 의해 생성되는 자유 아벨 군과 위상수 1의 근들로 이루어진 유한 순환군의 직적으로 표현된다. 이 정리는 디리클레가 1846년경 발표하였다.
4. 디리클레의 푸리에 급수 수렴 정리 (Dirichlet's theorem on Fourier series)
해석학의 정리로, 구간 [-π, π] 위에서 조각적 단조(piecewise monotone)이고 불연속점이 유한개인 2π-주기 함수 f(x)에 대하여, 그 푸리에 급수는 연속점에서 f(x)로 수렴하고 불연속점에서는 좌극한과 우극한의 평균값 (f(x+0)+f(x-0))/2로 수렴한다는 내용이다. 디리클레가 1829년에 발표하였으며, 이후 카미유 조르당이 유계 변동 함수로 일반화하였다.
이 외에도 디리클레의 이름이 붙은 정리로는 디리클레 함수(Dirichlet function), 디리클레 합성곱(Dirichlet convolution), 디리클레 판정법(Dirichlet test) 등이 있으며, 이들은 각각 해석학과 정수론에서 중요한 위치를 차지한다.
