수학에서 디리클레 적분(Dirichlet integral)은 독일 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805–1859)의 이름을 딴 여러 적분을 가리키며, 그중 가장 대표적인 것은 싱크 함수(sinc function)의 이상 적분(improper integral)이다.
정의
디리클레 적분의 가장 표준적인 형태는 다음과 같다.
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} , dx = \frac{\pi}{2} $$
이 적분은 절대 수렴(absolute convergence)하지 않는다. 즉, 양의 실수선 위에서 $ \left| \frac{\sin x}{x} \right| $의 르베그 적분 또는 리만 이상 적분은 무한대로 발산하므로, 싱크 함수는 양의 실수선 위에서 르베그 적분 가능(Lebesgue integrable)하지 않다. 그러나 싱크 함수는 이상 리만 적분(improper Riemann integral) 또는 일반화된 리만 적분, 헨스톡-쿠르츠바일 적분(Henstock–Kurzweil integral)의 의미에서는 적분 가능하며, 이는 이상 적분에 대한 디리클레 판정법(Dirichlet test)을 통해 확인할 수 있다.
성질
디리클레 적분은 적분 함수의 역도함수(antiderivative)가 초등 함수(elementary function)가 아니므로 미적분학의 기본 정리를 직접 적용하기 어려운 경우에 특정 적분을 평가하는 대표적인 예시로 자주 인용된다. 적분 함수 $ \frac{\sin x}{x} $는 짝함수(even function)이므로 적분 영역을 음의 실수선으로 확장할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} , dx = \pi $$
평가 방법
디리클레 적분의 값 $ \pi/2 $는 여러 가지 해석적 방법을 통해 유도할 수 있다.
- 라플라스 변환(Laplace transform): 사인 함수의 라플라스 변환과 아벨 정리(Abel's theorem)를 이용하여 유도한다.
- 이중 적분(double integral): 적분 순서를 변경하여 이중 정적분으로 계산한다.
- 적분 기호 아래 미분(differentiation under the integral sign): 파인만의 트릭(Feynman's trick)이라고도 불리며, 매개변수 $ s $를 도입하여 미분과 적분을 교환하는 방식이다.
- 복소 경로 적분(complex contour integration): 유수 정리(residue theorem)와 조르단 보조정리(Jordan's lemma)를 활용한다.
- 디리클레 핵(Dirichlet kernel): 푸리에 급수에서 등장하는 디리클레 핵과 리만-르베그 보조정리(Riemann–Lebesgue lemma)를 이용한다.
관련 개념
디리클레의 이름을 딴 다른 적분들도 존재하며, 이들은 각각 다른 형태의 적분으로서 해석학과 수론 등 다양한 분야에서 사용된다. 또한 디리클레 적분은 디리클레 분포(Dirichlet distribution), 디리클레 원리(Dirichlet principle), 디리클레 문제(Dirichlet problem) 등과 함께 디리클레의 이름을 딴 여러 수학 개념 중 하나이다.
