정의
디리클레 베타 함수(Dirichlet β function)는 복소 변수 $s$에 대해 정의되는 디리클레 $L$-함수의 한 종류로, 다음과 같은 급수 전개식으로 표현된다.
$$ \beta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} = 1-\frac{1}{3^{,s}}+\frac{1}{5^{,s}}-\frac{1}{7^{,s}}+\cdots , \qquad \Re(s)>0 . $$
이는 홀수 양의 정수의 역수에 교대 부호를 붙인 형태이며, 급수가 수렴하는 영역 $\Re(s)>0$을 초월해 전체 복소 평면으로 해석적 연속이 가능하다.
오일러 곱
$$
\beta(s)=\prod_{p\equiv 1\ (\text{mod }4)}\frac{1}{1-p^{-s}}
\prod_{p\equiv 3\ (\text{mod }4)}\frac{1}{1+p^{-s}},
$$
여기서 곱은 모든 소수 $p$에 대해 진행된다.
특정값
- $\beta(1)=\displaystyle\frac{\pi}{4}$
- $\beta(2)=G$ (카탈란 상수, $G\approx0.915965...$)
- $\beta(0)=\frac{1}{2}$
짝수 양의 정수에 대한 값은 유리수와 $\pi$의 거듭제곱을 포함하는 형태로 나타난다. 예를 들어, $$ \beta(2n)=(-1)^{n-1}\frac{E_{2n}}{4^{n}(2n)!},\pi^{2n}, $$ 여기서 $E_{2n}$는 오일러 수이다.
함수 방정식
디리클레 베타 함수는 다음과 같은 대칭성을 가진 함수 방정식을 만족한다.
$$ \beta(1-s)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{s}\cos!\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s),\beta(s), $$ $\Gamma(s)$는 감마 함수이다.
관련 개념
- 디리클레 $L$-함수: $\beta(s)$는 비자명한 실수 캐릭터 $\chi_{4}(n)=\left(\frac{n}{4}\right)$에 대한 $L$-함수 $L(s,\chi_{4})$와 동일하다.
- 알베르트의 정리: $\beta(s)$는 대수적 정수값을 갖는 경우가 제한적이며, 특히 $\beta(2n+1)$는 $\pi^{2n+1}$와 연관된 초월수 관계를 가진다.
- 응용: 수론에서 합동식 해의 분포, 가우스 합, 그리고 물리학·공학에서 파동 및 신호 처리의 교대 급수 모델링에 활용된다.
역사와 이름
이 함수는 19세기 독일 수학자 요하네스 하인리히 라인하르트 디리클레(Johannes Heinrich Dirichlet)의 이름을 따서 명명되었다. 디리클레는 일반적인 디리클레 $L$-함수를 도입했으며, 그 특수 경우가 베타 함수이다.
참고문헌
- T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.
- H. M. Edwards, Riemann’s Zeta Function, Academic Press, 1974.
- E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd ed., Oxford University Press, 1986.
위 내용은 공신력 있는 수학 참고 문헌에 기반한 객관적 서술이다.
