등급 다양체(等級多樣體, 영어: graded manifold)는 미분기하학에서 다루는 수학적 대상으로, 국소 자유 등급 가환 대수의 층을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 이 개념은 초대칭(supersymmetry)과 초가환 대수(supercommutative algebra)에서 비롯된 아이디어를 바탕으로 다양체의 개념을 확장한 것이다.
정의
등급 다양체는 다음의 데이터로 구성된다.
- 매끄러운 다양체 M
- M 위의 자연수 등급 대수의 층 A. 이는 국소적으로 다음과 같은 꼴이어야 한다.
A(U) = C^∞(U) ⊗ Sym(V) (U ⊆ M)
여기서 V는 양의 정수 등급 벡터 공간이며, Sym(V)는 이로부터 생성되는 자유 등급 가환 대수이다. 일부 문헌에서는 등급 다양체를 N-다양체(N-manifold)라고 부르기도 한다. 등급 다양체의 범주는 grDiff로 표기한다.
성질
등급 다양체의 범주 grDiff에서 초다양체의 범주 superDiff로 가는 망각 함자가 존재한다. 이는 N등급을 Z/(2)등급으로 잊어버리는 것이다. 또한 양의 정수 등급의 매끄러운 벡터 다발의 범주로 가는 망각 함자도 존재하며, 이는 오직 등급 1의 성분만을 기억하는 것이다.
관련 정리
영어권 문헌에 따르면, 등급 다양체는 국소적으로 환 달린 공간(Z, A)으로 정의되며, 여기서 Z는 n차원 매끄러운 다양체이고 A는 Z 위의 그라스만 대수의 층이다. 이때 Z를 등급 다양체의 몸체(body)라고 한다. 배철러 정리(Batchelor theorem)와 세르-스완 정리(Serre–Swan theorem)는 등급 다양체의 구조를 벡터 다발의 외대수(exterior algebra)로 특성화한다.
응용
등급 다양체는 수리물리학에서 라그랑지언 고전 장론과 라그랑지언 BRST 이론의 엄밀한 수학적 형식화에 사용된다. 또한 AKSZ-BV 형식론, 쿠랑 대수체(Courant algebroid)와 관련된 위상 장론 등에서도 중요한 역할을 한다. 등급 다양체는 등급 기하학(graded geometry)과 Q-다양체(Q-manifold) 연구의 기초가 되는 개념이다.
참고 문헌
- Roytenberg, Dmitry (2007). "AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories". Letters in Mathematical Physics 79: 143–159.
- Ikeda, Noriaki (2012). "Lectures on AKSZ Topological Field Theories for Physicists".
- C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991).
- B. Kostant, "Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization", in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977).
