등각 대칭(等角對稱, Conformal Symmetry)은 물리학과 수학에서 공간 또는 시공간의 각도를 보존하는 변환에 대해 시스템이 불변성을 가지는 대칭성을 말한다. 등각 변환은 국소적으로 척도 변환과 회전 변환의 조합으로 이해할 수 있으며, 거리를 보존하는 등거리 변환(Isometry)보다 더 일반적인 개념이다.
1. 수학적 정의 수학적으로 리만 다양체 또는 준 리만 다양체에서 등각 변환은 계량 텐서 $g_{\mu u}$를 다음과 같이 변환시키는 미분동형사상(Diffeomorphism) $x \to x'$을 의미한다. $$ g'{\mu u}(x') = \Omega^2(x) g{\mu u}(x) $$ 여기서 $\Omega(x)$는 양의 스칼라 함수(등각 인자)이다. 이 변환은 두 벡터 사이의 내적의 크기를 변화시키지만, 두 벡터가 이루는 각도는 보존한다.
2. 물리학에서의 의미
- 장론(Field Theory): 장론이 등각 대칭을 가질 때, 그 이론을 등각 장론(Conformal Field Theory, CFT)이라고 부른다. 등각 대칭은 푸앵카레 대칭(평행이동, 로렌츠 변환)에 확대 변환(Dilation)과 특수 등각 변환(Special Conformal Transformation)이 추가된 군 구조를 가진다.
- 임계 현상(Critical Phenomena): 통계물리학에서 2차 상전이 임계점 부근의 시스템은 척도 불변성을 가지며, 많은 경우 이는 완전한 등각 불변성으로 확장된다. 이는 임계 지수 계산 및 보편성 클래스 분류에 핵심적인 도구가 된다.
- 현 이론(String Theory): 현 이론의 세계면(Worldsheet) 이론은 2차원 등각 장론으로 기술되며, 등각 대칭의 보존(등각 이상 없음)은 시공간 차원 수를 26차원(보손 현) 또는 10차원(초현)으로 제한하는 중요한 조건이 된다.
3. 차원 의존성
- 2차원 ($d=2$): 2차원에서는 등각 변환이 해석 함수(Holomorphic function)에 의해 무한히 많이 생성되므로, 등각 대군은 비라소로 대수(Virasoro Algebra)로 표현되는 무한 차원 대수가 된다. 이는 2차원 CFT가 정확하게 해풀이가 가능하게 만드는 강력한 제약 조건을 제공한다.
- 고차원 ($d>2$): 3차원 이상에서는 등각 대군이 유한 차원이며, $SO(d,2)$ (유클리드 서명 시 $SO(d+1,1)$)와 동형이다. 이는 푸앵카레 대군에 확대 변환과 특수 등각 변환이 추가된 15개(4차원 기준)의 생성자로 구성된다.
4. 척도 대칭과의 관계 척도 불변성(Scale Invariance)은 등각 불변성의 필요 조건이나, 충분 조건은 아니다. 일반적인 상대론적 장론에서 푸앵카레 불변성과 단위성(Unitarity), 이산 스펙트럼 등의 조건 하에서는 척도 불변성이 등각 불변성을 함의한다는 정리가 알려져 있으나(예: Polchinski 정리), 비상대론적 시스템이나 특수한 조건에서는 척도 불변성은 가지나 등각 불변성은 가지지 않는 이론도 존재할 수 있다.
5. 등각 이상(Conformal Anomaly) 양자 수준에서 고전적 등각 대칭이 양자 효과(정규화)에 의해 깨지는 현상을 등각 이상(또는 트레이스 이상, Trace Anomaly)이라고 한다. 이는 에너지-운동량 텐서의 트레이스가 0이 아닌 값을 갖게 됨을 의미하며, 2차원에서는 중심 전하(Central Charge)로, 4차원에서는 $a, c$ 계수 등으로 정량화된다.
