드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 대수적 위상수학과 미분위상수학에서 사용되는 도구로, 매끄러운 다양체 위에서 정의된 미분 형식을 통해 해당 다양체의 위상수학적 성질을 대수적으로 표현하는 코호몰로지 이론이다. 스위스의 수학자 조르주 드 람(Georges de Rham)의 이름에서 유래하였으며, 그는 1931년에 드람 정리(de Rham theorem)를 증명하여 이 이론의 기초를 확립하였다.
정의
매끄러운 다양체 $M$이 주어졌을 때, $M$ 위의 미분 형식들의 공간 $\Omega^\bullet(M)$에 대하여 외미분(exterior derivative) $\mathrm{d}: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$이 정의된다. 외미분의 성질 $\mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0$에 따라 다음의 공사슬 복합체(de Rham cochain complex)가 얻어진다.
$$0 \to \Omega^0(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \Omega^1(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm{d}} \cdots \xrightarrow{\mathrm{d}} \Omega^{\dim M}(M) \to 0$$
이때 $\mathrm{d}\omega = 0$을 만족하는 미분 형식을 닫힌 형식(closed form), 어떤 $\eta$에 대하여 $\omega = \mathrm{d}\eta$로 표현되는 형식을 완전 형식(exact form)이라고 한다. $\mathrm{d}\circ\mathrm{d}=0$이므로 모든 완전 형식은 닫힌 형식이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 드람 코호몰로지군은 닫힌 형식의 공간을 완전 형식의 공간으로 나눈 몫공간으로 정의된다.
$$H_{\text{dR}}^k(M) = \frac{\ker(\mathrm{d}: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M))}{\operatorname{im}(\mathrm{d}: \Omega^{k-1}(M) \to \Omega^k(M))}$$
즉, $k$차 드람 코호몰로지군은 "외미분이 0인 $k$차 형식"에서 "다른 형식의 외미분으로 표현되는 $k$차 형식"을 식별하여 얻어지는 벡터 공간이다.
드람 정리
드람 정리에 따르면, 매끄러운 다양체 $M$의 드람 코호몰로지 $H_{\text{dR}}^k(M)$는 실수 계수 특이 코호몰로지(singular cohomology with real coefficients) $H^k(M;\mathbb{R})$와 동형이다. 이 동형 사상은 미분 형식을 특이 사슬 위에서 적분함으로써 주어진다. 이 정리는 해석적인 대상(미분 형식)을 통해 위상적인 불변량(코호몰로지)을 계산할 수 있게 해준다는 점에서 핵심적인 의의를 갖는다.
성질
- 드람 코호몰로지는 호모토피 불변량(homotopy invariant)이다. 즉, 호모토피 동치인 두 다양체는 동형인 드람 코호몰로지군을 가진다.
- 컵곱(cup product)에 의하여 등급환(graded ring) 구조를 가지며, 이는 미분 형식의 쐐기곱(wedge product)에 대응된다.
- 콤팩트 리만 다양체의 경우, 호지 이론(Hodge theory)에 따라 드람 코호몰로지의 각 동치류는 유일한 조화 형식(harmonic form)으로 대표된다.
- 마이어-피토리스 열(Mayer–Vietoris sequence)과 퀴네트 공식(Künneth formula) 등 코호몰로지 계산에 유용한 도구들이 존재한다.
예시
- $n$차원 초구 $\mathbb{S}^n$의 드람 코호몰로지: $H_{\text{dR}}^k(\mathbb{S}^n) \cong \begin{cases} \mathbb{R} & (k = 0, n) \ 0 & (\text{그 외}) \end{cases}$
- $n$차원 원환면 $\mathbb{T}^n$의 드람 코호몰로지: $H_{\text{dR}}^k(\mathbb{T}^n) \cong \mathbb{R}^{\binom{n}{k}}$
- 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 드람 코호몰로지: $H_{\text{dR}}^0(\mathbb{R}^n) \cong \mathbb{R}$, $H_{\text{dR}}^k(\mathbb{R}^n) \cong 0$ ($k > 0$) — 이는 푸앵카레 보조정리(Poincaré lemma)의 결과이다.
응용
드람 코호몰로지는 미분기하학, 위상수학, 그리고 이론물리학(특히 게이지 이론과 끈 이론)에서 폭넓게 사용된다. 매끄러운 다양체의 위상적 불변량을 미분 형식이라는 구체적이고 계산 가능한 대상으로 다룰 수 있게 해주어, 다양체의 구조를 분석하는 핵심적인 도구로 자리잡고 있다.
