정의
둔각삼각형은 삼각형의 세 각 중 하나가 180도보다 작고 90도보다 큰, 즉 둔각(> 90°)을 가지는 삼각형을 말한다. 나머지 두 각은 각각 예각(≤ 90°)이며, 세 각의 합은 언제나 180도이다.
특징
| 구분 | 내용 |
|---|---|
| 각의 성질 | 하나의 각이 둔각(90° < θ < 180°)이며,残 두 각은 예각(0° < θ ≤ 90°)이다. |
| 변의 길이와 관계 | 둔각에 맞은 변(대변)은 다른 두 변보다 길다. 즉, 가장 긴 변이 둔각의 맞은편에 위치한다. |
| 내접원 | 둔각삼각형은 외접원을 가질 수 있으나, 내접원(삼각형의 내부에 접하는 원)의 중심은 삼각형 내부에 있지 않고, 외접원의 중심은 삼각형 내부에 있다. |
| 고도와 수선 | 둔각의 꼭짓점에서 반대 변(대변)으로 그은 고도는 삼각형 외부에 위치한다. |
| 삼각형의 내분점 | 무게중심, 외심, 내심이 모두 서로 다른 위치에 존재한다. 외심은 삼각형 외부에 있다. |
관련 정리
- 코사인 법칙: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$에서 $\cos C$가 음수(즉, $C>90^\circ$)이면 $c$가 가장 긴 변이 된다. 이는 둔각삼각형의 정의와 일치한다.
- 피타고라스의 부정역: 직각삼각형에서 성립하는 피타고라스 정리는 둔각삼각형에서는 $\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}$ (대변 $c$가 가장 긴 경우) 로 변형된다.
어원
‘둔각’은 한국어에서 ‘뾰족하지 않은 큰 각’을 의미한다. ‘삼각형’은 세 변으로 이루어진 도형을 뜻한다. 따라서 ‘둔각삼각형’은 문자 그대로 ‘둔한(큰) 각을 하나 포함하는 삼각형’이라는 의미이다.
응용 분야
- 공학·구조물 설계: 삼각형의 형태는 구조적 안정성을 판단하는 기본 요소이며, 둔각삼각형은 하중이 특정 방향으로 집중될 때의 변형 해석에 활용된다.
- 컴퓨터 그래픽스: 3D 모델링에서 면의 법선 방향을 계산할 때, 둔각을 포함한 삼각형은 광원 반사와 쉐이딩 처리에 영향을 준다.
- 수학 교육: 삼각형의 종류(예각, 직각, 둔각)를 구분함으로써 각도와 변의 관계, 삼각함수의 기본 개념을 이해시키는 교재에 자주 등장한다.
참고
- 삼각형 분류에 관한 일반 교과서와 고등학교 수학 교과과정에서 ‘둔각삼각형’은 표준 용어로 사용된다.
- 국제 기하학 표준 용어인 “obtuse triangle”에 해당한다.