대칭 대수(對稱代數, 영어: symmetric algebra)는 추상대수학에서 벡터 공간 또는 가군으로부터 생성되는 가환 결합 대수이다. 대칭 대수의 원소는 벡터 공간(또는 가군)의 벡터들의 형식적 곱의 합으로 나타나며, 벡터들의 곱에 대해서는 텐서 대수와 달리 교환 법칙이 성립한다. 만약 교환 법칙을 부여하지 않으면 대신 텐서 대수의 개념을 얻고, 반교환 법칙을 부여하면 외대수의 개념을 얻는다. 일부 경우 대칭 대수의 원소는 주어진 가환환 계수의 다항식으로 해석될 수 있으며, 이 경우 대칭 대수를 다항식환이라고 부르기도 한다.
대칭 대수는 가환환 R 위의 가군 M이 주어졌을 때 M으로 생성된 대칭 대수 Sym(M; R)로 표기되며, R 위의 자연수 등급 가환 대수이다. 이는 크게 세 가지 방식으로 정의될 수 있다. 첫째, 범주론의 보편 성질을 통해 추상적으로 정의하는 방법이 있다. 둘째, 텐서 대수의 몫을 통해 구체적으로 구성하는 방법이 있다. 텐서 대수에서 u⊗v - v⊗u 꼴의 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼로 나눈 몫으로 정의되며, 이를 통해 자연수 등급 구조와 가환성이 얻어진다. 셋째, 아벨 리 대수의 보편 포락 대수로 여기는 방법이 있다. 자명한 리 괄호를 부여한 가군의 보편 포락 대수는 자연스럽게 가환 결합 대수가 되며, 이에 따라 대칭 대수는 자연스럽게 호프 대수의 구조를 갖는다.
낮은 등급의 대칭 대수 성분을 살펴보면, 0등급 성분 Sym⁰(M; R)은 R과 동형이며, 1등급 성분 Sym¹(M; R)은 M과 동형이다. 특히 M의 쌍대 가군 M^∨의 대칭 대수는 R[M]으로 표기되고 M 위의 다항식환이라고 불린다. M이 유한 생성 자유 가군이고 그 기저가 x₁, x₂, …, xₙ일 때, 대칭 대수는 변수 x₁, x₂, …, xₙ에 대한 다항식환 R[x₁, x₂, …, xₙ]과 동일시된다.
대칭 대수의 주요 성질로는 다음과 같은 것들이 있다. 두 가군의 직합에 대한 대칭 대수는 각 대칭 대수에 대한 관계식이 성립하며, 특히 다항식환에 대한 R[x, y] ≅ R[x][y]의 동형을 얻는다. M이 유한 생성 자유 가군 R^⊕d일 때, 각 등급 성분의 차원은 이항 계수 (d+i-1 choose i)로 주어진다. 다만 대칭 대수 자체는 유한 생성 가군이 아니다. 환론적으로는 R이 유일 인수 분해 정역이면 R[x]도 유일 인수 분해 정역이고, R이 뇌터 환이면 R[x]도 뇌터 환이며, R이 체이면 R[x]는 유클리드 정역이다.
대칭 대수의 한 가지 특수한 예로, 가환환 R의 표수가 2인 경우에는 R-가군 M으로 생성되는 대칭 대수가 M으로 생성되는 외대수와 동형이 된다. 대칭 대수는 추상대수학, 대수기하학, 표현론 등 다양한 수학 분야에서 기본적인 구성 도구로 사용되는 개념이다.
대칭 대수는 수학에서 널리 확립된 개념으로, 위키백과 및 수학 백과사전 등 다양한 공신력 있는 자료에서 확인할 수 있다.
