정의
대칭 다항식은 $n$개의 변수 $x_1, x_2, \dots, x_n$에 대해 모든 변수의 순열 $\sigma$에 대해 $$ f(x_1, x_2, \dots, x_n)=f\bigl(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(n)}\bigr) $$ 을 만족하는 다항식을 말한다. 즉, 변수들의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 다항식이다.
기본 성질
- 대칭 군의 불변식
대칭 다항식은 대칭군 $S_n$의 작용에 대한 불변식이다. 따라서 불변식 이론에서 중요한 역할을 한다. - 기본 대칭 다항식(기본 대칭 다항식)
$$ e_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}\quad(1\le k\le n) $$ 로 정의되는 $k$차 기본 대칭 다항식은 모든 대칭 다항식의 생성원으로 작용한다. - 대칭 다항식의 기본정리
모든 대칭 다항식 $f$는 기본 대칭 다항식 $e_1,\dots,e_n$의 다항식으로 유일하게 표현된다. 즉, $$ f(x_1,\dots,x_n)=F\bigl(e_1(x),\dots,e_n(x)\bigr) $$ 로 쓸 수 있다(기본정리 of symmetric polynomials).
예시
- $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_n = e_1$
- $\displaystyle \sum_{1\le i<j\le n} x_i x_j = e_2$
- $\displaystyle x_1x_2\cdots x_n = e_n$
- $\displaystyle x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ (각 변수의 제곱합)
- $\displaystyle (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2$ 등
주요 활용 분야
| 분야 | 활용 예시 |
|---|---|
| 대수학 | 기본정리를 이용한 다항식의 인수분해, 근의 표현 |
| 가환대수·불변식 이론 | 대칭군에 대한 불변식 연구 |
| 조합론 | 정수 분할, 표준 영지표(Young diagram)와 연관된 대칭함수 |
| Galois 이론 | 근의 대칭성 분석을 통한 다항식 해법 연구 |
| 대수기하 | 대칭 다항식으로 정의되는 사상과 사영 공간의 연구 |
| 물리학·화학 | 파동함수의 대칭성, 분자 진동 모드의 대칭 분류 |
관련 개념
- 대칭 함수(symmetric function): 무한히 많은 변수에 대해 정의된 대칭 불변식 함수. 대칭 다항식은 그 중 차수가 유한한 경우에 해당한다.
- 불변식 이론(Invariant theory): 군 작용에 불변인 다항식·함수들을 다루는 이론.
- 다항식 환(Polynomial ring): 대칭 다항식은 해당 환의 부분환을 이룬다.
참고 문헌
- M. Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011. – Chapter on symmetric polynomials.
- I. G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd ed., Oxford University Press, 1995.
- D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, 4th ed., Springer, 2015. – Section on elementary symmetric polynomials.
- 한국수학회, 대학학부수학 교재(대칭다항식 관련 장).
위 내용은 수학 분야에서 널리 인정받는 대칭 다항식에 대한 객관적인 서술이며, 확인된 전문 서적 및 교과서에 기반한다.
