대수적 수체(代數的數體, Algebraic Number Field)는 유리수체 $\mathbb{Q}$의 유한 차수 확대체이다. 즉, 체 $K$가 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간을 이룰 때, $K$를 대수적 수체라고 한다. 이 경우 $K = \mathbb{Q}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ 꼴로 표현되며, 각 $\alpha_i$는 대수적 수(유리수 계수 다항식의 근)이다.
기본 성질
- 차수(Degree): $K$를 $\mathbb{Q}$-벡터 공간으로 볼 때의 차원을 $K$ 위의 차수라 하며, $[K:\mathbb{Q}]$로 표기한다.
- 정수환(Ring of Integers): $K$에 속하는 원소 중 최고차항 계수가 1인 단항 다항식(monic polynomial)의 근이 되는 원소들의 집합을 $K$의 정수환이라 하며, $\mathcal{O}_K$로 표기한다. 이는 데데킨트 영역(Dedekind domain)을 이룬다.
- 판별식(Discriminant): $K$에 대한 $\mathbb{Q}$-기저를 잡아 계산하는 불변량으로, $K$에서 소수의 분기 거동을 결정하는 데 핵심적인 역할을 한다.
주요 이론 및 구조
- 갈루아 이론: $K/\mathbb{Q}$가 갈루아 확대체일 경우, 갈루아 군 $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$의 구조를 통해 중간 체들과 소수의 분해 법칙을 체계적으로 설명할 수 있다.
- 류수론(Class Field Theory): 아벨 확대를 아데이드 류군 혹은 이데알 류군으로 분류하는 이론으로, 대수적 수체의 가장 중심적인 연구 주제 중 하나이다.
- 제타 함수와 L-함수: 데데킨트 제타 함수 $\zeta_K(s)$를 통해 소수 분포, 류수(class number), 조절자(regulator) 등 대수적 수체의 산술적 불변량들을 해석적으로 연구한다.
분류 예시
- 이차체(Quadratic Field): 차수가 2인 경우. $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ($d$는 제곱 인수가 없는 정수) 꼴이며, $d>0$이면 실 이차체, $d<0$이면 허수 이차체라 부른다.
- 순환체(Cyclotomic Field): 1의 $n$제곱근을 첨가하여 얻은 체 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$. 갈루아 군은 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$와 동형이다.
대수적 수체는 정수론, 대수기하학, 표현론 등 현대 수학의 여러 분야에서 기초적인 도구이자 연구 대상이다.
