대수적 무리수(algebraic irrational number)는 대수적 수 중에서 유리수가 아닌 수를 의미한다. 보다 엄밀히는 다음과 같이 정의된다.
정의
- 대수적 수: 복소수 z 가 유리계수(또는 정수계수)를 갖는 0이 아닌 다항식 $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$ 의 근일 때, z를 대수적 수라 한다. 즉,
$$ P(z)=0 \quad (a_i\in\mathbb{Q},; a_n eq0) $$ - 대수적 무리수: 위 대수적 수 중에서 유리수가 아닌 경우, 즉 $z otin\mathbb{Q}$ 인 경우를 대수적 무리수라 한다.
주요 성질
- 유리수와 구별
- 모든 유리수는 차수가 1인 일차다항식 $x - q = 0$ 의 근이므로 대수적 수에 속하지만, 대수적 무리수는 이와 달리 차수가 2 이상인 다항식의 근이다.
- 정수계수 다항식으로도 표현 가능
- 유리계수 대신 정수계수 다항식으로도 정의할 수 있다. 즉, $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$인 경우에도 같은 근을 갖는다.
- 대수 차수
- 대수적 무리수 $α$에 대해 가장 낮은 차수(최소 차수)의 다항식을 그 최소 다항식이라 하며, 그 차수를 대수 차수라 부른다. 예를 들어, $\sqrt{2}$의 최소 다항식은 $x^2-2$이며 차수는 2이다.
- 대수적 폐쇄성
- 두 대수적 무리수의 합, 차, 곱, 나눗셈(분모가 0이 아닌 경우) 역시 대수적 수가 된다. 그러나 결과가 반드시 무리수인 것은 아니다(예: $\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2$는 유리수).
- 대수적 무리수와 초월수
- 모든 초월수(예: $\pi, e$)는 대수적 무리수가 아니다. 즉, 초월수는 어떠한 비자명한 유리계수 다항식의 근도 될 수 없다.
대표적인 예
| 수 | 최소 다항식 | 차수 |
|---|---|---|
| $\sqrt{2}$ | $x^2-2$ | 2 |
| $\sqrt[3]{5}$ | $x^3-5$ | 3 |
| $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (황금비) | $x^2-x-1$ | 2 |
| $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ | $x^4-10x^2+1$ | 4 |
역사·연구
- 19세기 초, 루트(루트) 정리(Rational Root Theorem)와 대수적 정리(Fundamental Theorem of Algebra) 등을 통해 대수적 무리수의 존재와 성질이 체계화되었다.
- 리만-루트 정리(Riemann–Roch theorem)와 가우스-베른스테인 정리 등 고등 수학에서는 대수적 무리수와 그 최소 다항식의 구조가 중요한 역할을 한다.
- 알베르트-베르트라이트 정리에 따르면, 대수적 무리수는 항상 대수적 정수(정수계수 다항식의 근)와 유리수의 합으로 표현될 수 있다.
응용
- 암호학: 대수적 무리수의 최소 다항식과 차수는 특정 대수적 구조(예: 대수적 곡선)의 복잡성을 평가하는 데 사용된다.
- 수치 해석: 근사 계산에서 대수적 무리수는 유리수 근사와 달리 무한 소수 전개를 갖지만, 다항식 근을 이용한 정확한 표현이 가능해 오류 분석에 유리하다.
- 기하학: 평면 및 입체 도형의 길이·각도·부피 계산에 등장하는 $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ 등은 대수적 무리수이며, 이는 정다각형의 구성과 직접 연결된다.
관련 용어
- 대수적 수: 유리수·대수적 무리수를 모두 포함하는 개념.
- 초월수: 대수적 수가 아닌 실수·복소수(예: $\pi, e$).
- 대수 차수: 대수적 수를 정의하는 최소 다항식의 차수.
- 대수적 정수: 정계수 다항식의 근으로, 대수적 무리수보다 더 제한적인 집합.
요약
대수적 무리수는 유리수가 아닌 대수적 수로, 유리계수(또는 정수계수) 다항식의 근이며, 최소 차수가 2 이상인 경우를 말한다. 대표적인 예로 $\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 등이 있다. 대수적 무리수는 수학 전반, 특히 대수학, 수론, 기하학, 암호학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.