대수기하학(代數幾何學, algebraic geometry)은 대수적 방정식들의 해집합으로 정의될 수 있는 기하학적 대상들과 이들 사이의 관계를 대수적 방법으로 연구하는 수학 분야이다. 현대 수학에서 가장 세분화된 분야 중 하나이며, 기하학과 대수학의 교차점에 위치한다.
고전적 대수기하학의 주요 관심사는 여러 다항식들을 모은 집합이 있을 때, 그 모든 다항식들의 값이 0이 되는 집합(영점 집합)이 기하학적으로 어떤 성질을 갖는지 연구하는 것이다. 예를 들어, 3차원 유클리드 공간에서 방정식 x² + y² + z² - 1 = 0을 만족하는 점들의 집합은 구(sphere)가 된다. 이와 같이 다항식으로 정의되는 기하학적 대상을 대수다양체(algebraic variety)라고 한다.
대수기하학의 주요 분야로는 다음과 같은 것들이 있다.
- 고전적 대수기하학: 대수적으로 닫힌 체(주로 복소수체)에서 대수다양체의 분류를 목표로 한다.
- 불변량 이론(invariant theory): 군이 대수다양체 위에 작용하는 방식을 연구한다.
- 교차 이론(intersection theory): 대수기하학 위에 대수적 위상수학의 호몰로지와 유사한 구조를 정의한다.
- 산술기하학(arithmetic geometry): 유리수체나 대수적 수체 위의 스킴을 다루며, 디오판토스 방정식을 기하학적 문제로 재해석한다.
- 실수 대수기하학(real algebraic geometry): 실수 위의 초곡면을 다룬다.
- 특이점 이론(singularity theory): 대수다양체의 특이점을 분류하고 연구한다.
- 계산 대수기하학(computational algebraic geometry): 주어진 대수다양체의 성질을 계산하는 알고리즘을 다룬다.
- 비가환 대수기하학(noncommutative algebraic geometry): 비가환 대수적 구조를 기하학적 기법으로 다룬다.
역사적으로 볼 때, 고대 그리스 수학자들은 원뿔 곡선 및 이차 곡면과 같은 간단한 실수 대수다양체를 연구하였다. 르네 데카르트는 좌표계를 도입하여 기하학적 문제를 대수적으로 변환하는 방법을 제시하였다. 19세기에는 베른하르트 리만이 리만 곡면을 정의하고 리만-로흐 정리를 증명하였으며, 다비트 힐베르트는 힐베르트 영점 정리(Hilbert's Nullstellensatz)와 힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem)를 증명하였다. 20세기 중반 이후 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)는 층 이론과 스킴(scheme)의 개념을 도입하여 대수기하학의 기초를 크게 일반화하였으며, 이를 통해 전통적인 복소 대수기하학에서부터 정수론까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 자리잡았다.
