정의
대각합(大角합)은 수학·선형대수학에서 정방 행렬 $A$ 의 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 이어지는 대각선) 원소들을 모두 더한 값을 의미한다. 즉, 차원이 $n$ 인 정방 행렬 $A=[a_{ij}]$ 에 대하여
$$ \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii} $$
로 정의되는 양을 가리키며, 영어로는 trace이라고 한다.
기호와 표기법
- 보통 $\operatorname{tr}(A)$ 혹은 $\operatorname{diagSum}(A)$ 로 표기한다.
- 컴퓨터 과학·프로그래밍에서는
trace(A),diag_sum(A)등으로 구현된다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 선형성 | $\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)$, $\operatorname{tr}(cA)=c,\operatorname{tr}(A)$ ( $c$는 스칼라) |
| 순환 불변성 | $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ ( $A,B$는 적당한 차원의 행렬) |
| 전치와 동일 | $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^{\mathsf{T}})$ |
| 고유값과 연관 | $\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ ( $\lambda_i$는 $A$의 모든 고유값, 중복도 포함) |
| 불변성 | 행렬이 유사 변환 $P^{-1}AP$ 으로 바뀌어도 대각합은 변하지 않는다: $\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)$. |
| 행렬식과 차이 | 대각합은 행렬식($\det A$)과는 별개의 개념이며, 두 값이 동일한 경우는 특별한 경우에만 발생한다. |
응용 분야
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선형 대수와 행렬 이론
- 고유값 합을 구할 때 대각합을 이용한다.
- 특성 다항식의 첫 번째 계수(부호가 바뀐 형태)는 대각합과 관련 있다.
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양자역학·통계역학
- 밀도 행렬의 대각합은 시스템의 전체 확률(=1)로 사용된다.
- 헬름홀츠 자유에너지 계산 시 트레이스 연산이 등장한다.
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컴퓨터 그래픽스
- 변환 행렬의 대각합은 스케일링 성분을 간단히 파악할 때 이용된다.
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경제·계량 모델
- 입력‑산출 행렬의 트레이스를 통해 총산출에 대한 직접적인 기여도를 측정하기도 한다.
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패턴·퍼즐
- 수 독파(스도쿠 등)에서 각 행·열·대각선의 합을 일정하게 맞추는 “대각합 퍼즐”이 출제된다.
역사·연관 용어
- trace 개념은 19세기 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스가 행렬 이론 초창기에 도입했으며, 이후 리히터, 헤르만 등이 체계화하였다.
- 한국어에서는 “대각합”이 ‘trace’의 직역이며, ‘행렬의 대각합’, ‘주대각합’ 등으로도 불린다.
- 연관 용어: 주대각선, 대각 원소, 행렬식, 고유값, 유사 변환, 전치 행렬.
참고문헌
- Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. – 트레이스에 관한 기본 성질 정리.
- Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. – 실용적인 응용 사례 포함.
- 김동현, 선형대수학 개념과 응용, 한빛아카데미, 2018. – 한국어 교재에서 ‘대각합’ 용어 사용 예시.
- Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. – 양자역학에서 트레이스 연산 설명.
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