대각지배행렬(diagonally dominant matrix)은 선형대수학에서 정의되는 정사각행렬의 한 종류로, 각 행에서 주대각선 성분의 절댓값이 그 행의 나머지 성분들(비대각 성분)의 절댓값의 합보다 크거나 같을 때를 가리킨다. 이와 같은 성질을 대각지배성(diagonal dominance)이라고 한다.
수학적으로, n×n 행렬 A가 모든 i(i=1,...,n)에 대하여 다음 조건을 만족하면 대각지배행렬이라고 한다.
|a_ii| ≥ ∑_{j≠i} |a_ij|
여기서 a_ij는 행렬의 i번째 행, j번째 열의 성분을 의미한다. 위 조건에서 등호가 포함된 부등호(≥)를 사용하는 경우를 약대각지배(weak diagonal dominance)라고 하며, 모든 행에서 엄격한 부등호(>)가 성립하는 경우를 강대각지배(strict diagonal dominance)라고 구분하여 부른다. 문맥에 따라 "대각지배"라는 용어가 약대각지배와 강대각지배 중 어느 것을 의미하는지는 사용처에 따라 달라질 수 있다.
정의에서 행 방향으로 성분의 합을 계산할 경우 행대각지배라고 하며, 열 방향으로 합을 계산하면 열대각지배(column diagonal dominance)라고 한다. 이 외에도 약대각지배이면서 최소한 한 행에서는 강대각지배를 만족하는 기약행렬을 기약대각지배행렬(irreducibly diagonally dominant matrix)이라고 한다.
대각지배행렬의 주요 성질은 다음과 같다.
강대각지배행렬(또는 기약대각지배행렬)은 비특이행렬, 즉 가역행렬이다. 이는 레비-데스플랑크 정리(Lévy-Desplanques theorem)로 알려져 있으며, 게르쉬고린 원 정리(Gershgorin circle theorem)와 동치인 결과이다. 실수 성분을 가지며 대각 성분이 모두 음이 아닌 에르미트 대각지배행렬은 양의 준정부호(positive semidefinite) 행렬이다. 또한 실수 양의 대각 성분을 갖는 에르미트 강대각지배행렬은 양의 정부호(positive definite) 행렬이다.
수치해석 분야에서는 이러한 성질이 널리 활용된다. 강대각지배행렬(또는 기약대각지배행렬)을 계수행렬로 갖는 선형연립방정식에 대해서는 야코비 방법(Jacobi method)과 가우스-자이델 방법(Gauss-Seidel method)이 수렴함이 보장된다. 또한 강한 열대각지배행렬에 대해서는 가우스 소거법을 수행할 때 행 피벗팅(partial pivoting)이 필요하지 않다는 특성이 있다. 유한요소법(finite element method) 등에서 등장하는 많은 행렬이 대각지배성을 갖는 것으로 알려져 있다.
대각지배행렬은 선형대수학 및 수치해석의 표준적인 개념으로, 행렬이론과 응용수학 전반에서 안정성 해석과 수치 알고리즘의 수렴성 판정에 중요한 역할을 한다.
