정의
기하학에서 닮음(相似, similarity) 은 두 도형이 일대일 대응 관계에 있어 대응하는 각이 모두 서로 같고, 대응하는 변들의 길이 비가 일정한(즉, 같은 비율을 유지하는) 경우를 말한다. 이러한 관계에 놓인 두 도형을 닮음 도형이라고 부르며, 하나의 도형을 원형(original)이라 하고 다른 도형을 대상형(image)이라 한다.
성질
- 각의 보존: 닮음 도형 사이에서는 대응하는 모든 각이 서로 같다.
- 비례 관계: 대응 변들의 길이 비(닮음 비, similarity ratio) $k$가 존재하여, 모든 대응 변에 대해 $\frac{\text{대상변}}{\text{원변}} = k$ 가 성립한다.
- 면적·부피 비: 닮음 비가 $k$이면, 면적 비는 $k^{2}$, 부피 비는 $k^{3}$이 된다.
- 중심·축·대칭 보존: 닮음 변환은 평행 이동, 회전, 대칭, 확대·축소(동일한 비율)로 구성될 수 있다.
닮음 변환(유사 변환)
닮음 변환은 동일 비율의 확대·축소와 회전·평행 이동·대칭을 조합한 변환이다. 수학적으로는 다음과 같이 표현한다.
$$ \mathbf{x}' = k\mathbf{R}\mathbf{x} + \mathbf{t} $$
- $k$ : 닮음 비 (양의 실수)
- $\mathbf{R}$ : 회전·대칭을 나타내는 정규 직교 행렬 ($\det \mathbf{R}= \pm1$)
- $\mathbf{t}$ : 평행 이동 벡터
닮음 조건(닮음 판정 기준)
| 조건 | 설명 |
|---|---|
| AA(각-각) 조건 | 두 도형의 두 각이 각각 서로 같으면, 나머지 각도 자동으로 같아져서 닮음이다. |
| SSS(변-변-변) 조건 | 대응 변들의 비가 모두 동일하면 닮음이다. |
| SAS(변-각-변) 조건 | 두 대응 변의 비가 같고, 그 사이의 각이 같으면 닮음이다. |
| AA+비례 조건 | 두 각이 같고, 하나의 변의 비가 일정하면 닮음이다. |
주요 정리
- 닮음 정리(Similarity Theorem)
두 삼각형이 한 각을 공유하고, 그 각을 포함한 두 변의 비가 같다면, 그 삼각형은 닮음이다. - 동심원·동심원 닮음
두 원이 같은 중심을 가질 경우, 반지름 비가 닮음 비가 된다.
예시
- 정다각형
정삼각형, 정사각형 등은 서로 닮음이며, 닮음 비는 한 변의 길이 비와 같다. - 프랙탈
코흐 곡선, 시어핀스키 삼각형 등은 자기 닮음(자기 유사) 구조를 가진다. - 실제 적용
지도와 위성 사진, 건축 모형, 컴퓨터 그래픽스에서 확대·축소가 동일한 비율로 적용될 때 닮음이 성립한다.
관련 개념
- 동형(同形, Congruence) : 대응 변의 길이와 각이 모두 일치하는 경우, 닮음 비 $k = 1$ 인 특수한 경우.
- 유사성(Similarity) : 닮음은 영어 “similarity”를 번역한 용어이며, 수학·컴퓨터 과학·물리학 등 다양한 분야에서 동일하게 사용된다.
- 자기 닮음(Self‑Similarity) : 구조 전체가 부분 구조와 같은 형태를 갖는 특성으로, 프랙탈 이론의 핵심 개념이다.
참고문헌
- 김동현, 기하학 개념사전, 한울출판사, 2018.
- J. E. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1998. (한국어 번역본: 기하학 입문)
- K. Fletcher, Similarity in Geometry, Springer, 2021.
주의: 위 내용은 일반적인 기하학 교과서 및 학술 자료에 기반한 설명이며, 특정 분야(예: 복소수 기하학, 비유클리드 기하학)에서는 추가적인 닮음 개념이 존재할 수 있다.