단위분수(單位分數, unit fraction)는 분자가 1이고 분모가 양의 정수인 분수를 의미한다. 예를 들어 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 등이 이에 해당한다. 분수의 덧셈과 뺄셈에 있어 기본 단위가 된다는 의미에서 단위분수라는 명칭이 붙었다. 일반적으로 분모는 자연수인 경우만을 포함하며, 경우에 따라 분모가 2 이상의 자연수인 경우만을 의미하기도 한다. 모든 단위분수는 기약분수이다.
기초적인 연산
단위분수 두 개를 곱하면 단위분수가 된다. 즉, 단위분수들의 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있다.
1/x × 1/y = 1/xy
그러나 단위분수 두 개를 더하거나 빼거나 나누면 일반적으로 단위분수가 되지 않는다.
1/x + 1/y = (x+y)/xy
1/x − 1/y = (y−x)/xy
1/x ÷ 1/y = y/x
역사적 의의
고대 이집트에서는 2/3를 제외한 모든 분수를 서로 다른 단위분수의 합으로 표현하였다. 이러한 표현을 이집트 분수(Egyptian fraction)라고 부른다. 예를 들어 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20으로 나타낼 수 있다. 모든 양의 유리수는 여러 가지 방법으로 단위분수의 합으로 표현할 수 있다.
수학적 관련성
단위분수를 큰 순서대로 나열할 때, 첫 번째 단위분수부터 n번째 단위분수까지의 합을 조화수(harmonic number)라고 한다. n이 무한히 커지면 조화수는 양의 무한대로 발산하며, 이 급수를 조화급수(harmonic series)라고 한다. 조화급수는 수열 자체는 수렴하지만 그 합은 발산하는 대표적인 예로 알려져 있다. 이 조화급수를 변형하면 제타 함수(zeta function)가 되며, 이는 리만 가설(Riemann hypothesis)이라는 유명한 난제로 이어진다.
단위분수의 크기 비교
단위분수는 분모가 클수록 그 값이 작아진다. 예를 들어 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5의 관계가 성립한다. 이는 전체를 더 많은 수로 나눌수록 한 조각의 크기가 작아지는 원리와 같다.
기타 응용
단위분수는 확률론에서 이산형 균일 분포의 확률값, 물리학에서 수소 원자의 에너지 준위(리드베리 공식), 기하학적 군론에서 삼각형 군의 분류 등 다양한 분야에서 활용된다.
