단순회귀분석(單純回歸分析, 영어: simple regression analysis)은 통계학에서 회귀분석의 한 형태로, 하나의 독립변수(설명변수)와 하나의 종속변수(반응변수) 사이의 관계를 선형 모형으로 규명하는 분석 방법을 의미한다. 회귀분석이 일반적으로 여러 연속형 변수들 사이의 관계를 모형화하는 기법이라면, 단순회귀분석은 독립변수가 단일개일 때의 특수한 경우에 해당한다.
기본적인 단순회귀모형은 다음과 같은 수식으로 표현된다.
$$ y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + e_i $$
여기서 $ y_i $는 종속변수의 i번째 관측값, $ X_i $는 독립변수의 i번째 관측값, $ \beta_0 $는 절편(상수항), $ \beta_1 $은 기울기(회귀계수), $ e_i $는 오차항을 나타낸다. 추정된 회귀식을 $ \hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i $로 표기하며, 이를 통해 독립변수의 변화에 따른 종속변수의 예측값을 구할 수 있다.
단순회귀분석이 타당한 결과를 산출하기 위해서는 몇 가지 기본 전제가 충족되어야 한다. 독립변수와 종속변수는 모두 연속형이어야 하며, 오차항은 정규분포를 따르고 등분산성을 가지며, 오차항 간에는 독립성이 있어야 한다. 또한 오차항에는 특이치가 존재하지 않아야 한다.
회귀계수의 추정 방법으로는 크게 최소제곱법(최소자승법)과 최대우도추정법이 사용된다. 최소제곱법은 오차제곱합 $ \sum_{i=1}^{N} e_i^2 $을 최소화하는 방향으로 회귀계수를 결정하며, 이를 각각 $ \beta_0 $와 $ \beta_1 $에 대해 편미분하여 영(0)으로 놓고 정리함으로써 추정값을 도출한다. 최소제곱법으로 추정된 회귀계수는 BLUE(Best Linear Unbiased Estimators)의 성질, 즉 선형성, 불편성, 최소분산성을 갖는 것으로 알려져 있다.
회귀모형의 적합성을 판정하는 방법으로는 회귀계수에 대한 t검정을 통해 계수의 통계적 유의성을 검정하는 방법과, 결정계수 $ r^2 $ 및 오차제곱합(ESS, error sum of squares)을 검토하는 방법 등이 있다. 결정계수는 독립변수가 종속변수의 변동을 설명하는 비율을 나타내며, 모형의 설명력을 평가하는 주요 지표로 활용된다.
단순회귀분석은 하나의 독립변수만을 다루는 점에서 여러 독립변수를 동시에 고려하는 다중회귀분석과 구별되며, 통계적 예측과 변수 간 관계 규명을 위한 기초적인 분석 도구로 널리 사용된다.
