단면 일차 모멘트(First moment of area)는 재료역학 및 구조역학에서 사용되는 단면의 기하학적 성질 중 하나로, 단면의 미소 면적과 그 미소 면적의 도심에서 기준 축까지의 거리를 곱한 값을 전체 단면에 대해 적분한 양이다. 단위는 길이의 세제곱(L³)이다.
정의
임의 형상의 단면에 대해, 데카르트 좌표축을 기준으로 단면 일차 모멘트는 다음과 같이 정의된다.
- x축에 대한 단면 일차 모멘트: $ G_x = \int_A y , dA = A \cdot \bar{y} $
- y축에 대한 단면 일차 모멘트: $ G_y = \int_A x , dA = A \cdot \bar{x} $
여기서 $ \bar{x}, \bar{y} $는 각각의 축에서부터 단면의 도심(centroid)까지의 거리이며, $ A $는 단면의 전체 면적이다.
특성
- 단면 일차 모멘트는 기준 축의 위치에 따라 양의 값 또는 음의 값을 가질 수 있다.
- 도심을 지나는 축(도심축)에 대한 단면 일차 모멘트는 항상 0이다.
- 단면 일차 모멘트는 단면의 도심 위치를 구하는 데 직접적으로 사용된다.
도심과의 관계
도심(centroid)이란 임의의 단면에서 기준 축에 대한 단면 일차 모멘트가 0이 되는 점을 말한다. 단면 일차 모멘트를 전체 면적으로 나누면 도심까지의 거리를 구할 수 있다.
$$ \bar{x} = \frac{G_y}{A}, \quad \bar{y} = \frac{G_x}{A} $$
활용
단면 일차 모멘트는 주로 다음의 목적으로 사용된다.
- 평면 도형의 도심(centroid) 계산
- 보(beam)의 전단 응력(shear stress) 계산: 전단 응력 공식 $ \tau = \frac{VQ}{Ib} $에서 $ Q $가 단면 일차 모멘트에 해당한다.
- 전단 흐름(shear flow) 분석
대표적인 도형의 도심
| 도형 | $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | 면적 |
|---|---|---|---|
| 삼각형 | $ \frac{b}{3} $ | $ \frac{h}{3} $ | $ \frac{bh}{2} $ |
| 사각형 | $ \frac{b}{2} $ | $ \frac{h}{2} $ | $ bh $ |
| 사분원 | $ \frac{4r}{3\pi} $ | $ \frac{4r}{3\pi} $ | $ \frac{\pi r^2}{4} $ |
| 반원 | 0 | $ \frac{4r}{3\pi} $ | $ \frac{\pi r^2}{2} $ |
단면 이차 모멘트와의 구분
단면 일차 모멘트는 단면 이차 모멘트(Second moment of area, 관성 모멘트)와 구별된다. 단면 이차 모멘트는 거리의 제곱을 곱하여 적분한 값으로, 보의 휨 강성(bending stiffness) 계산에 사용된다. 반면 단면 일차 모멘트는 거리의 일차항을 곱하므로 도심 및 전단 응력 계산에 사용된다.
