단면 범주(sectional category)는 위상수학, 특히 호모토피 이론에서 사용되는 개념으로, 올다발(fiber bundle)에 대해 정의되는 자연수 값 불변량(numerical invariant)이다. 러시아의 수학자 알베르트 시바르츠(А. С. Шварц)가 1960년 '종수(род)'라는 이름으로 처음 발표하였으며, 이후 1978년 요안 제임스(I. M. James)가 이를 인용하고 류스테르니크-시니렐만 범주(Lusternik–Schnirelmann category)와의 관계를 밝히면서 '단면 범주(sectional category)'라는 용어를 사용하였다.
정의
올공간 $E$와 밑공간 $B$를 갖는 올다발 $\pi : E \to B$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 $k$를 단면 범주 $\operatorname{secat}(\pi)$로 정의한다.
- $B$를 덮는 $(k+1)$개의 열린 덮개 $(U_i)_{0 \le i \le k}$가 존재하여, 각각의 덮개 $U_i$에 대해 $\pi^{-1}(U_i) \simeq U_i \times F$를 만족한다.
위 조건을 만족시키는 자연수 $k$가 존재하지 않으면 $\operatorname{secat}(\pi) = \infty$로 표기한다.
성질
올공간 $E$가 한원소 공간(one-point space)일 경우, 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주와 일치한다. 즉, 올다발 $\pi : {*} \to B$에 대하여 $\operatorname{secat}(\pi) = \operatorname{cat}(B)$가 성립한다. 따라서 단면 범주는 류스테르니크-시니렐만 범주의 일반화로 간주된다.
위상 복잡도
단면 범주는 위상 복잡도(topological complexity)를 정의하는 데 사용된다. 위상공간 $X$가 주어졌을 때, 경로 공간 $\mathcal{P}X = {\gamma : [0,1] \to X}$와 사영 사상 $\pi : \mathcal{P}X \to X \times X$ (단, $\pi(\gamma) := (\gamma(0), \gamma(1))$)에 대하여, $X$의 위상 복잡도 $\operatorname{TC}(X)$는 $\pi$의 단면 범주로 정의된다.
$$ \operatorname{TC}(X) := \operatorname{secat}(\pi) $$
역사
- 1960년: 알베르트 시바르츠가 '종수(род)'라는 이름으로 발표.
- 1978년: 요안 제임스가 시바르츠의 결과를 인용하고 류스테르니크-시니렐만 범주와의 관계를 분석하면서 '단면 범주(sectional category)'라는 용어를 정립.
