다변수 함수(多變數函數, 영어: multivariate function)는 수학에서 둘 이상의 독립 변수를 갖는 함수를 말한다. 보통 다변수 실함수와 다변수 복소함수를 가리킨다.
정의
다변수 실함수는 $ n $개($ n \geq 2 $)의 실수 독립 변수에 대한 실숫값 함수
$$ y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $$
를 뜻한다. 여기서 $ y, x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R} $이며, 모든 실수 $ n $중쌍을 유일한 또 다른 실수로 대응시키는 대응 관계이다. 이는 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^n $ (또는 그 부분 집합)을 정의역으로 갖는 실숫값 함수
$$ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $$
로서 정의할 수도 있다.
비슷하게, 다변수 복소함수는 다중 복소수 독립 변수에 대한 복소수 값 함수
$$ w = f(z_1, z_2, \ldots, z_n) $$
를 뜻하며, 복소수 곱공간 $ \mathbb{C}^n $ (또는 그 부분 집합)을 정의역으로 갖는 복소수 값 함수
$$ f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} $$
로서 정의할 수 있다.
구분
다변수 함수는 크게 다음으로 나뉜다.
- 다변수 실함수(function of several real variables): 독립 변수가 실수인 경우.
- 다변수 복소함수(function of several complex variables): 독립 변수가 복소수인 경우.
큰 맥락에서는 벡터 함수, 텐서 함수 등도 포괄하는 개념이다. 가장 간단한 경우는 독립 변수가 두 개인 이변수 함수(bivariate function)이며, 이를 3차원 공간에서 시각화할 수 있다.
관련 개념
다변수 함수의 미분과 적분은 다변수 미적분학(multivariable calculus)의 핵심 주제이며, 여기에는 편미분(partial derivative), 전미분(total derivative), 그래디언트(gradient), 다중 적분(multiple integral), 선적분(line integral), 면적분(surface integral) 등이 포함된다. 또한 다변수 함수의 극값(최댓값, 최솟값)을 찾는 문제는 최적화 이론과 여러 공학 및 과학 분야에서 중요하게 다루어진다.
