다르부 정리(Darboux's theorem)는 수학에서 프랑스 수학자 장 가스통 다르부(Jean Gaston Darboux)의 이름이 붙은 두 가지 서로 다른 정리를 가리킨다. 하나는 미분기하학, 특히 심플렉틱 기하학에서의 정리이고, 다른 하나는 해석학(미적분학)에서의 정리이다.
1. 미분기하학에서의 다르부 정리
미분기하학에서 다르부 정리는 심플렉틱 다양체(symplectic manifold)의 국소적 구조에 관한 정리이다. 이 정리에 따르면, 같은 차원의 심플렉틱 다양체는 국소적으로 모두 서로 동형이다. 구체적으로, $2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M, \omega)$가 주어졌을 때, 임의의 점 $x \in M$에 대하여 그 근방 $U$와 다음을 만족하는 국소 좌표계 ${x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n}: U \to \mathbb{R}^{2n}$가 존재한다.
$$ \omega = dx_1 \wedge dy_1 + dx_2 \wedge dy_2 + \cdots + dx_n \wedge dy_n $$
이러한 좌표계를 다르부 좌표계(Darboux chart)라고 한다.
이 정리는 리만 기하학과의 대비에서 중요한 의미를 가진다. 리만 다양체의 경우 임의의 한 점에서 계량 텐서를 단위 행렬로 만드는 좌표계는 존재하지만, 근방 전체에서 계량 텐서를 단위 행렬로 만들 수 있는 좌표계는 리만 곡률이 0이 아닌 이상 일반적으로 존재하지 않는다. 반면, 심플렉틱 기하학에서는 곡률에 해당하는 개념이 존재하지 않으며, 항상 국소적으로 표준형을 취할 수 있다는 것이 다르부 정리의 핵심이다. 다르부 좌표계는 해밀턴 역학에서 일반화 좌표와 일반화 운동량으로 이루어진 국소 좌표계에 해당한다.
2. 해석학에서의 다르부 정리 (다르부 중간값 정리)
해석학(미적분학)에서 다르부 정리(Darboux's theorem) 또는 다르부 중간값 정리(Darboux's intermediate value theorem)는 미분 가능 함수의 도함수가 갖는 성질에 관한 정리이다. 이 정리에 따르면, 실수 구간 $I \subseteq \mathbb{R}$에서 실수로 가는 미분 가능 함수 $f: I \to \mathbb{R}$의 도함수 $f'$는 항상 다르부 함수(Darboux function)이다. 즉, 도함수는 연속 함수가 아니더라도 항상 중간값 성질(intermediate value property)을 가진다. 이는 연속 함수에 대한 중간값 정리(사잇값 정리)의 한 가지 일반화이다.
다르부 함수란 연결 집합의 상(image)이 연결 집합인 함수를 말한다. 실수에서 실수로 가는 함수의 경우, 이는 구간의 상이 항상 구간이 되는 함수와 동치이다. 모든 연속 함수는 다르부 함수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 불연속이면서도 다르부 함수인 함수가 존재한다.
이 정리가 주는 중요한 시사점은, 함수 $f$의 도함수 $f'$가 연속인지 여부와 관계없이 항상 중간값 정리를 적용할 수 있다는 것이다.
두 정리는 모두 장 가스통 다르부의 이름을 따서 명명되었으나, 서로 다른 수학 분야에서 각각 독립적인 의미를 가진다.
