니븐 상수(Niven constant)는 정수론에서 사용되는 수학 상수로, 미국의 수학자 이반 니븐(Ivan Niven, 1915–1999)의 이름을 따서 명명되었다. 이 상수는 자연수의 소인수분해에 나타나는 가장 큰 지수의 평균값과 관련된 극한값으로 정의된다.
양의 정수 n에 대하여, H(n)을 n의 소인수분해에 나타나는 가장 큰 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의하고, H(1)=1로 정의한다. 이때 니븐 상수는 다음과 같은 극한으로 정의된다.
lim (n→∞) (1/n) ∑(k=1~n) H(k) = 1 + ∑(k=2~∞) (1 − 1/ζ(k)) = 1.705211…
여기서 ζ(s)는 리만 제타 함수이다. 이 결과는 니븐이 1969년에 발표한 논문 "Averages of Exponents in Factoring Integers"(Proceedings of the American Mathematical Society, 제22권, 356–360쪽)에서 제시되었다.
같은 논문에서 니븐은 소인수분해에 나타나는 가장 작은 지수를 나타내는 함수 h(n)에 대해서도 다음과 같은 결과를 증명하였다.
∑(j=1~n) h(j) = n + c√n + o(√n)
여기서 h(1)=1이고, 상수 c는 다음과 같이 주어진다.
c = ζ(3/2) / ζ(3)
이로부터 다음의 극한이 성립함을 얻을 수 있다.
lim (n→∞) (1/n) ∑(j=1~n) h(j) = 1
니븐 상수의 수치적 값은 약 1.705211…이며, 이는 OEIS의 수열 A033150에 등재되어 있다. 니븐 상수는 수학 상수에 관한 종합적인 참고 문헌인 Steven R. Finch의 《Mathematical Constants》(Cambridge University Press, 2003)에도 수록되어 있다.
