뉴턴-코츠 공식(Newton–Cotes formulas)은 수치해석학에서 정적분의 근삿값을 계산하는 데 사용되는 수치적분 공식군이다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 로저 코츠(Roger Cotes)의 이름에서 유래한 명칭이며, 닫힌 구간에서 피적분함수를 일정한 간격으로 표본화한 뒤, 이 표본값들에 고정된 가중치를 곱하여 합산하는 방식으로 적분값을 근사한다.
뉴턴-코츠 공식의 기본 원리는 적분 구간 [a, b]를 n개의 동일한 하위 구간으로 나누고, 각 하위 구간에서 피적분함수를 다항식으로 근사한 뒤 그 다항식을 적분하는 것이다. 표본점들이 구간 경계를 포함하는 방식(닫힌 뉴턴-코츠 공식, closed form)과 구간 내부에만 위치하는 방식(열린 뉴턴-코츠 공식, open form)으로 구분된다.
대표적인 닫힌 뉴턴-코츠 공식으로는 다음과 같은 것들이 있다.
- 사다리꼴 공식(n=1): 함수를 1차 다항식(직선)으로 근사하여 적분한다.
- 심프슨 공식(n=2): 함수를 2차 다항식으로 근사하여 적분한다.
- 심프슨 3/8 공식(n=3): 함수를 3차 다항식으로 근사하여 적분한다.
- 불 공식(Boole's rule, n=4): 함수를 4차 다항식으로 근사하여 적분한다.
각 공식은 표본점 개수 n에 따라 오차항의 차수와 계수가 달라지며, n이 커질수록 일반적으로 더 높은 정확도를 기대할 수 있으나, n이 큰 경우 룽게 현상(Runge phenomenon) 등 수치적 불안정성이 발생할 수 있다. 사다리꼴 공식과 심프슨 공식은 뉴턴-코츠 공식군의 가장 단순하면서도 널리 활용되는 특수한 사례로 볼 수 있다.
뉴턴-코츠 공식은 해석적으로 부정적분을 구하기 어려운 함수나 표본 데이터로만 주어진 함수의 정적분을 근사해야 할 때 유용하게 사용된다. 과학·공학 분야의 다양한 수치 계산 문제에서 기초적인 수치적분 도구로 널리 활용된다.
