뉴턴 항등식(Newton's identities, 뉴턴恒等式)은 대수학에서 멱합(power sums)과 기본 대칭식(elementary symmetric polynomials) 사이의 관계를 나타내는 일련의 항등식이다. 이 식들은 다항식의 근 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ 의 거듭제곱합을 근의 대칭식으로, 혹은 그 반대로 변환하는 재귀적인 방법을 제공한다.
1. 기본 개념
| 용어 | 정의 |
|---|---|
| 멱합 $s_k$ | $s_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^{,k}$ (모든 근의 $k$ 제곱의 합) |
| 기본 대칭식 $\sigma_k$ | $\displaystyle \sigma_k=\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}$ (근을 $k$ 개씩 곱한 합) 특히 $\sigma_0=1$, $\sigma_1=s_1$, $\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n$ |
| 다항식 | 근이 $x_i$ 인 일차식들의 곱 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(x-x_i)=x^{n}-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^n\sigma_n$ |
2. 뉴턴 항등식(재귀식)
$$ \boxed{-s_k = -\sigma_1 s_{k-1} + \sigma_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1}\sigma_{k-1}s_1 + (-1)^k k \sigma_k} \qquad (1\le k\le n) $$
- $k\le n$ 일 때 위 식이 성립한다.
- $k>n$ 이면 $\sigma_{k}=0$ (기본 대칭식은 차수가 $n$을 초과하면 0) 이므로
$$ -s_k = -\sigma_1 s_{k-1} + \sigma_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^{n}\sigma_{n}s_{k-n}. $$
이 식을 이용하면 멱합을 기본 대칭식만을 이용해 차례대로 구할 수 있다(또는 그 역도 가능).
3. 증명 개요
- 다항식 $\displaystyle P(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-x_i)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\sigma_k x^{,n-k}$ 를 미분한다.
- $\displaystyle \frac{P'(x)}{P(x)} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-x_i}$.
- 양변을 $x^{,k-1}$ 로 곱하고 $x\to\infty$ 로 전개하면 멱합과 기본 대칭식이 연결되는 항등식이 얻어진다.
- 전개 과정에서 계수 비교를 하면 위의 재귀식 (1)이 도출된다.
4. 주요 응용
| 분야 | 활용 예시 |
|---|---|
| 다항식의 근과 계수 | $\sigma_k$ 로부터 근의 거듭제곱합 $s_k$ 를 계산하거나, 반대로 $s_k$ 로부터 $\sigma_k$ 를 구한다. |
| 특성다항식 | 행렬 $A$ 의 특성다항식의 계수 $\sigma_k$ 와 $\operatorname{tr}(A^k)=s_k$ 사이에 직접적인 관계가 있다. |
| 판별식(Discriminant) | $\displaystyle \prod_{i>j}(x_i-x_j)^2 = \det\bigl[ s_{i+j-2}\bigr]_{i,j=1}^{n}$ 로 표현되어, 근의 중복 여부를 계수만으로 판단할 수 있다. |
| Newton’s sums | 위 식을 “Newton’s sums”라 부르며, 대수적 조합론·갈루아 이론·대칭 함수 이론 등에서 기본 도구로 사용된다. |
| 수치 계산 | 근이 직접 주어지지 않은 경우에도 계수만으로 근의 거듭제곱합을 구해 근의 크기·분포를 추정한다. |
5. 간단한 예시
$n=3$ 인 경우, 근을 $x_1,x_2,x_3$ 라고 하자.
- 기본 대칭식: $\sigma_1 = x_1+x_2+x_3$, $\sigma_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, $\sigma_3 = x_1x_2x_3$.
- 뉴턴 항등식
- $k=1$: $-s_1 = -\sigma_1$ → $s_1 = \sigma_1$ (당연).
- $k=2$: $-s_2 = -\sigma_1 s_1 + 2\sigma_2$ → $s_2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$.
- $k=3$: $-s_3 = -\sigma_1 s_2 + \sigma_2 s_1 - 3\sigma_3$ → $s_3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3$.
이와 같이 멱합을 기본 대칭식만으로 전개할 수 있다.
6. 참고 문헌
- 아이작 뉴턴, Newton's Identities (원본 논문)
- G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge Univ. Press – 뉴턴 항등식과 대칭 함수 관계
- Wikipedia, “Newton's identities” (영문) – 기본 정의와 증명
- 한국위키백과, “뉴턴 항등식” – 한국어 요약 및 응용 사례
요약: 뉴턴 항등식은 다항식 근의 멱합과 기본 대칭식 사이를 연결하는 핵심적인 대수적 도구이며, 다항식 이론·행렬 이론·수학적 조합론 등 다양한 분야에서 필수적으로 활용된다.