내부해 (영어: interior solution)는 최적화 문제에서 모든 선택 변수가 정의역의 경계(boundary)에 있지 않은 해를 가리킨다. 반대 개념으로는 적어도 하나의 변수가 경계값에 위치하는 모서리해(corner solution)가 있다.
경제학에서의 내부해
경제학, 특히 미시경제학의 소비자 이론에서 내부해는 소비자가 예산 제약 하에 효용 극대화 문제를 풀 때, 모든 재화의 소비량이 0보다 큰 양수(positive)인 해를 의미한다. 즉, 소비자의 균형점이 예산선의 양 끝단(모서리)이 아닌 중심부에 위치하며, 두 재화 이상을 모두 양수로 소비하는 경우를 말한다.
내부해가 성립하기 위한 필요 조건은 라그랑주 승수법을 통해 도출된다. 효용 극대화 문제에서 내부해는 각 재화의 한계효용과 가격의 비율이 모든 재화에 대해 동일해야 한다는 조건을 만족한다. 이는 효용 극대화의 1계 조건(first-order condition)으로 알려져 있다. 만약 이 조건이 충족되지 않으면 소비자는 특정 재화만 소비하는 모서리해에 도달하게 된다.
내부해는 일반적인 효용함수(예: 콥-더글러스 효용함수)에서 통상적으로 나타난다. 반면 완전대체재 효용함수와 같은 특수한 경우에서는 예산선의 기울기와 무차별곡선의 기울기가 일치할 때에만 내부해가 발생하며, 그렇지 않으면 모서리해가 나타난다.
내부해의 개념은 소비자 이론 외에도 생산자 이론에서 기업의 이윤 극대화 또는 비용 최소화 문제에서도 적용된다. 모든 생산 요소의 투입량이 0보다 큰 경우를 내부해라고 하며, 이 경우 각 요소의 한계생산물과 요소 가격의 비율이 동일해야 한다.
물리학에서의 내부해
물리학, 특히 일반 상대성 이론에서 내부해는 물체의 내부 영역을 기술하는 해를 의미한다. 대표적으로 상대성 이론의 유체해(fluid solution) 문제에서 별의 내부 구조를 기술하는 해가 이에 해당한다.
별의 내부에서는 중력과 압력이 평형을 이루며, 이 평형 상태를 지배하는 아인슈타인 방정식(또는 TOV 방정식)을 풀어 얻은 해가 내부해이다. 이 해는 별의 중심에서 표면까지의 물질 분포, 밀도, 온도, 압력 변화 등을 수학적으로 표현한다. 내부해는 별의 외부를 기술하는 외부해(exterior solution)와 경계 조건에서 매끄럽게 연결되어야 하며, 이를 통해 별 전체의 구조를 일관되게 설명할 수 있다.
대표적인 예로 슈바르츠실트 내부해(Schwarzschild interior solution)가 있다. 이는 균일한 밀도를 가진 비회전 유체 구의 중력장을 기술하며, 외부 슈바르츠실트 해와 연결된다.
같이 보기
- 모서리해 (corner solution)
- 효용 극대화 문제
- 라그랑주 승수법
- 일반 상대성 이론
- TOV 방정식
